Sujet 1 – 1ère S

Exercice 1

1.Résoudre les équations suivantes.
a. x^2 = 7x
b. x^4- x^2 =0
c. -x^2+ 7x -3= 5 – 2x
d. \sqrt{2}x^2 – 2\sqrt6x + 3\sqrt{2}=0

2. On cherche à résoudre l’équation
(E): x^3 + 6x^2 + 13x + 10 =0
a. Montrer que :
x^3 + 6x^2 + 13x + 10=(x + 2)(x^2 + 4x + 5)
b. Résoudre alors l’équation (E)

Exercice 2

1) Soit le polynôme :
P(x)= 3x^2 -7x^2 -7x +3=0
Montrer que le polynôme P peut se factorise sous la forme P(x)=(x+1) Q(x), où Q(x) est un trinôme du second degré que l’on déterminera.
Déterminer alors les solutions de l’équation
3x^3 -7x^2 -7x +3 =0

2) On considère la fraction rationnelle :
f(x)=\dfrac{3x^3 -7x^2 -7x +3}{3x^2 -12x +12}
a) Déterminer l’ensemble de définition de f
b) Résoudre l’inéquation f(x) \geq 0

Exercice 3

Soit f(x)= x^2 + mx + m , où m désigne un nombre réel.
1. Pour quelle valeur de m le nombre 1 est-il racine de f ?
Déterminer alors l’autre racine.
2. Déterminer les valeurs de m pour lesquelles f admet deux racines distinctes.
3. Existe-t-il des valeurs de m telles que, pour tout réel x, f(x)>1?

Exercice 4

On appelle f la fonction définie sur \R par l’expression
f(x)= x^3 +3x^2 -24x +20.
On note C_f sa courbe représentative.
1. Vérifier que 1 est une racine de f, puis déterminer le polynôme Q(x) tel que, pour tout réel x, \\ f(x)=(x-1)Q(x).
En déduire les points d’intersection de C_f avec l’axe des abscisses, ainsi que le signe de f(x).
2. a) Montrer que, pour tout réel x, \\ f(x)= (x-2)^3 + 9(x-2)^2 -8
b) On note u la fonction définie sur [2; +\infty[ par u(x)=(x – 2)^3
Ecrire u comme la composée de deux foncions de référence, et en déduire le sens de variation de u.
c) Déterminer le sens de variation de f sur [2; +\infty[
d) On appelle g la fonction définie sur [3; +\infty[ par g(x)=\dfrac{1}{f(x)}
Montrer que g est minorée sur [3; +\infty[, c’est-à-dire qu’il existe un réel a tel que, pour tout réel x \in [3; +\infty[, g(x)\leq a.