Sujet 2 – 1ère S

Exercice 1

1) Soit v et w deux fonctions définies et croissantes sur un intervalle I.
Montrer que la fonction u= v + w est aussi croissante sur I.
2. a) On considère la fonction f définie sur ]2; +\infty[ par l’expression f(x)=\dfrac{x^2 – 3x}{x-2}
Montrer que pour tout x>2, \\ f(x)= x – 1 -\dfrac{2}{x-2}
b) Dresser alors le tableau de variation de f.

Exercice 2

1) Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
On note C_f sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O, \overrightarrow{i},\overrightarrow{j}), et M le point de coordonnées M(a;b).
On suppose que pour tout x tel que (a + x)\in I, on a aussi (a – x) \in I
Montrer que M est un centre de symétrie pour la courbe C_f si et seulement si, pour tout x tel que (a + x)\in I on a \dfrac{f(a +x) + f(a – x)}{2} = b
(Indication: Soit A et A’ deux points de C_f, symétriques par rapport à M.
Quelles sont les coordonnées de A et A’ ? Que représente M pour le segment [AA’] ?)

2) On considère la fonction g définie sur I = \R \backslash \lbrace -1 \rbrace, par l’expression g(x)=\dfrac{3x + 2}{x+1}, et on note C_g sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O, \overrightarrow{i},\overrightarrow{j})
a) Montrer que C_g admet le point M(-1;3) comme centre de symétrie.
b) Montrer que pour tout x>-1, g(x)=3~ – \dfrac{1}{x + 1}
En déduire le sens de variation de g sur ]-1~;~+\infty[.
c) Dresser alors le tableau de variation de g sur I.