Sujet 4 – 1ère S

Exercice 1

On donne ci-contre une partie de la courbe C_f représentant une fonction f définie et dérivable sur \R.
La droite \Delta est tangente C_f au point d’abscisse 1.
La tangente à C_f au point d’abscisse 2 est parallèle à l’axe des abscisses.

1) Par lecture graphique, donner sans justifier:
a) f(0), f(1), f'(1), f'(2)
b) Le tableau de variation de f.
2) Soit h la fonction définie par h(x)= [f(x)]^2
a) Exprimer h'(x) en fonction de f(x) et de f'(x).
b) Etudier le signe de h'(x) sur [0; 2] et en déduire les variations de h

Exercice 2

On considère la fonction f définie sur \R \{-1; 1} par l’expression f(x) =\dfrac{x^3 + 2x^2}{x^2 – 1} .
On note C_f sa courbe représentative dans un repère (O, \overrightarrow{i},\overrightarrow{j}).
A) Etudie d’une fonction auxiliaire.
On pose g(x)=x^3-3x-4
1) Etudier le sens de variation de g.
2) Montrer que l’équation g(x) = 0 admet une unique solution, que l’on notera \alpha, dans l’intervalle [1;3].
3) Donner un encadrement de \alpha à 0,1 près.
4) En déduire le signe de g(x) selon les valeurs de x.

B) Etude des variations de f.
Calculer f'(x), et montrer que f'(x) =\dfrac{xg(x)}{(x^2 – 1)^2}. En déduire le tableau de variation de f.

C) Tangente.
Déterminer l’équation de la tangente (T) à C_f au point d’abscisse 2.

Exercice 3

Montrer que pour tout réel x,
(\cos x + \sin x)^2 + (\cos x – \sin x)^2 = 2.

Exercice 4

Exprimer en fonction de sin x et cos x les expression suivantes:
1) A(x) = \sin (-x) – \cos (\dfrac{\pi}{2} – x) + \cos (-x) + \sin (\dfrac{\pi}{2}-x)
2) B(x) = \sin (\pi -x) + \cos (\dfrac{\pi}{2} + x) + \cos (3\pi -x) + \sin (\dfrac{\pi}{2}+x)