Sujet 5 – 1ère S
Exercice 1
On considère les fonctions f et g définies sur \R par
f(x)= x^3 + 6x^2 – 5x -5 et, g(x)= 2x^2 + 2x + 5
On note respectivement C_f et C_g les courbes représentatives des fonctions de f et g.
1) Montrer que le point A(2;17) est un point de C_f et de C_g.
2) Déterminer les coordonnées de tous les points d’intersection de C_f et de C_g.
Exercice 2
Soit la fonction f définie sur \R par f(x)=9x^2 + 3x + 1. On note P la parabole représentant graphiquement f dans un repère.
Pour m un nombre réel, on note (\Delta_m ) la droite d’équation y=mx.
Pour quelles valeurs de m la droite (\Delta_m) coupe-t-elle la parabole en un unique point ?
Exercice 3
Soit (O; \overrightarrow{i},\overrightarrow{j} un repère orthonormé, et A(5; 2), B(3; 4) et C(0;1).
1) a) Calculer le produit scalaire \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC}.
b) Calculer les longueurs AB et AC
c) En déduire une valeur de l’angle (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})
2) Déterminer l’équation du cercle de diamètre [AB]
3) Déterminer l’équation de la hauteur issue de A du triangle ABC
Exercice 4
Soit ABCD un carré de côté 2 et de centre O. On note I le milieu de [AB].
1) a) Trouver un point H \in (AB) tel que \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH} = 2.
b) Déterminer alors l’ensemble des points M tels que \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AM} = 2
2) a) Démontrer que pour tout point M, on a: \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MI}^2 – 1.
b) En déduire que l’ensemble des points M tels que \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} =4 est le cercle de centre I passant par C.
Exercice 5
Soit A et B deux points tels que AB=5.
1) Soit G le point défini par la relation :
2\overrightarrow{GA} + 3\overrightarrow{GB} =\overrightarrow{0} .
Montrer que \overrightarrow{AG}=\dfrac{3}{5}\overrightarrow{AB}, puis en déduire les longueurs GA et GB.
2) Déterminer l’ensemble C des points M du plan tels que 2MA^2 + 2MB^2=30
Exercice 6
Soit les points A(2; 3) et B(-4; 1)
Déterminer l’ensemble des points M du plan dont les coordonnées (x;y) vérifient l’équation:
(x-2) (x+4) + (y-3) (y-1)= 6