Sujet 6 – 1ère S

Exercice 1

Soit f la fonction définie sur \R par :
f(x)= ax^2 + bx +c, avec a \ne 0.
Montrer que si a et c sont de signes contraires, alors la courbe représentative de la fonction f coupe exactement deux fois l’axe des abscisses.

Exercice 2

Soit la fonction f définie sur \R par f(x)= 9x^2 + 3x +1. On note P la parole représentant graphiquement f dans un repère.
1) Pour p un nombre réel, on note(D_p) la droite d’équation y=x +p.
Pour quelles valeurs de p la droite (D_p) coupe-t-elle la parabole en un seul point ? en deux points distincts ?
2) Pour m un nombre réel, on note (\Delta_m ) la droite d’équation y= mx.
Pour quelles valeurs de m la droite (\Delta_p ) coupe-t-elle la parabole en un unique point?

Exercice 3

Dans le plan orienté, ABC est un triangle rectangle isocèle en A tel que (\overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CB} =\dfrac{\pi}{4}).
M est un point de (AB), N est le symétrique de M par rapport à (AC) et P celui de N par rapport à (BC).
On souhaite démontrer que le triangle CMP est rectangle isocèle.
1) Justifier les égalités(\overrightarrow{CM}, \overrightarrow{CA})=(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CN}) et (\overrightarrow{CB}, \overrightarrow{CP})=(\overrightarrow{CN},\overrightarrow{CB}).
2) Déterminer une mesure de l’angle (\overrightarrow{CM}, \overrightarrow{CP}). Conclure.

Exercice 4

ABCDE est un pentagone régulier inscrit dans un cercle trigonométrique C de centre O.


1) Indiquer les mesures des angles:
(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}) , (\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OC}), (\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OD}), (\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OE})
2) Quelles sont les coordonnées des points A, B, C, D et E?
3) Montrer la relation \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OE} =2 \cos(\dfrac{2\pi}{5}) \overrightarrow{OA}.
On admettra de même la relation :
\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} =2 \cos(\dfrac{4\pi}{5}) \overrightarrow{OA}
4) ABCDE étant un pentagone régulier, on a (cette relation vectorielle n’est pas à démontrer) :
\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{0}
En déduire alors une relation reliant \cos(\dfrac{2\pi}{5}) et \cos(\dfrac{4\pi}{5}).
5) On admet la formule de duplication: pour tout nombre réel a, \\ \cos(2a)=2(\cos (2a))^2 – 1.
a) Montrer que \cos(\dfrac{2\pi}{5}) est solution de l’équation :
4x^2 + 2x -1=0
b) En déduire la valeur de \cos(\dfrac{2\pi}{5}).

Exercice 5

On considère la fonction f définie sur I= ]1; +\infty[ par l’expression :
f(x)=\dfrac{-x^2 -2x +1}{x -1}
On note C_f la courbe représentative de f dans un repère.
1) Déterminer les réels \alpha et \beta tels que, pour tout x \in I, \\ f(x)=\alpha x + \beta + \dfrac{2}{x -1}
2) Donner le sens de variation de la fonction f.
3) On considère la droite (\Delta) d’équation y= -x + 1. Pour x \in I, on note P le point de C_f d’abscisse x, et Q le point de (\Delta) d’abscisse x.
a) Déterminer, en fonction de x, la distance algébrique PQ.
b) Quelle est la position relative de C_f et de la droite (\Delta)?
c) Que peut-on dire de la distance PQ lorsque x devient (très) grand?
4) Représenter l’allure de C_f.