2 : Limites et fonctions numériques – 1e L

I) Fonctions de référence

Théorèmes

\lim\limits_{x \rightarrow + \infty} ax^n \begin{cases} +\infty ~ \text{ si } a > 0 \\ -\infty ~ \text{ si } a < 0 \end{cases} ~;~ a \in ~ R^* ~,~ n \in ~ N^*

\lim\limits_{x \rightarrow + \infty} \dfrac{a}{x^n} = \lim\limits_{x \rightarrow - \infty} \dfrac{a}{x^n} = 0 ~;~ a \in ~ R^* ~,~ n \in ~ N^*

\lim\limits_{x \rightarrow - \infty} ax^n \begin{cases} +\infty ~ \text{ si } a > 0 \text{ et } n \text{ pair } \\ -\infty ~ \text{ si } a < 0 \text{ et } n \text{ pair } \\ +\infty ~ \text{ si } a < 0 \text{ et } n \text{ impair } \\ -\infty ~ \text{ si } a > 0 \text{ et } n \text{ impair } \end{cases} ~;~

Notations

– Si n \in \N^* et n pair : \lim\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{1}{x^n} = +\infty

– Si n \in \N^* et n impair : \lim\limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ x>0}} \dfrac{1}{x^n} = +\infty et \lim\limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ x< 0}} \dfrac{1}{x^n} = -\infty
Ou bien :
\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} \dfrac{1}{x^n} = +\infty et \lim\limits_{x \rightarrow 0^-} \dfrac{1}{x^n} = -\infty

Principaux cas d’indétermination

Synthèse : si f et g sont deux fonctions polynômes, \dfrac{f(x)}{g(x)} a même limite quand x tend vers +\infty ou -\infty que le quotient du monôme de plus haut degré de f par celui de g.

Exemples :
\lim\limits_{x \rightarrow - \infty} \dfrac{3x-1}{2x-4} = \lim\limits_{x \rightarrow - \infty} \dfrac{3x}{2x} = \dfrac{3}{2}

\lim\limits_{x \rightarrow - \infty} \dfrac{3x^2 +1}{4x-1} = \lim\limits_{x \rightarrow - \infty} \dfrac{3x}{4} = -\infty

\lim\limits_{x \rightarrow + \infty} \dfrac{x}{3x^2-1} = \lim\limits_{x \rightarrow - \infty} \dfrac{1}{3x} = 0

II. Asymptotes parallèles aux axes

1) Asymptote verticale

Exemple : f(x) = \dfrac{x-1}{2x+1}
La fonction f admet en +\infty pour limite à gauche en -\dfrac{1}{2} et l’on note \lim\limits_{\substack{x \rightarrow -\frac{1}{2} \\ x < -\frac{1}{2} }} f(x) = -\infty

Interprétation graphique 

On traduit les deux résultats précédents sur le comportement de f autour de -\dfrac{1}{2} de la façon suivante :
Pour les réels proches de -\dfrac{1}{2} la courbe représentant f est proche de la droite d’équation x = -\dfrac{1}{2}.
On traduit cette propriété par : la droite d’équation x = -\dfrac{1}{2} est asymptote verticale à la courbe (C).

Définition

Si \lim\limits_{x \rightarrow a^+} f(x) = +\infty ou \lim\limits_{x \rightarrow a^+} f(x) = -\infty ou \lim\limits_{x \rightarrow a^-} f(x) = +\infty ou \lim\limits_{x \rightarrow a^-} f(x) = -\infty.
Alors on dit que la droite d’équation ; x =a est asymptote verticale à la représentation graphique (C) de f dans un repère du plan.

2) Asymptote horizontale

Exemple : Reprenons la fonction f définie par f(x) = \dfrac{x-1}{2x+1} 
La fonction f a pour limite \dfrac{1}{2} en +\infty, on note \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = \dfrac{1}{2}

Interprétation graphique

Pour traduire le fait que f(x) est aussi proche de \dfrac{1}{2} que l’on veut pour les grandes valeurs positives de x, on dit que la droite d’équation y = \dfrac{1}{2} est asymptote horizontale à la courbe (C) au voisinage de +\infty. Il en est de même au voisinage de -\infty.

Définition

Si l’on a \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = l ou \lim\limits_{x \rightarrow -\infty} f(x) = l, on dit que la droite d’équation y = l est asymptote à la courbe (C) de f dans un repère du plan.

III. Asymptote non parallèle aux axes

1. Définition

Soit f une fonction numérique, (C) sa courbe représentative dans un plan muni d’un repère (O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}).
S’il existe deux réels a et b (a \ne 0) tels que \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} [f(x) - (ax+b)] = 0 ou \lim\limits_{x \rightarrow -\infty} [f(x) - (ax+b)] = 0, on dit que la droite d’équation y = ax+b est asymptote oblique à la courbe (C).

2. Théorème

Soit f une fonction numérique et (C) sa courbe représentative dans un repère (O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}).
S’il existe deux réels a et b et une fonction g  telle que f(x) = ax +b +g(x) avec \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} g(x)=0 ou \lim\limits_{x \rightarrow -\infty} g(x) = 0 alors la droite d’équation y =ax +b est asymptote à la courbe (C)

Exercice d’application

Soit la fonction numérique f(x) = \dfrac{x^2-5x+4}{x+2} ~~(x \ne -2).
1) Déterminer les réels a, b et c pour que f(x) = ax +b + \dfrac{c}{x+2}
2) En déduire que la courbe de la fonction f admet une asymptote oblique dont on donnera une équation.

Corrigé

1) Détermination de a, b et c.
f(x) = ax +b + \dfrac{c}{x+2} = \dfrac{x^2-5x+4}{x+2},  

f(x) = \dfrac{(x+2)(ax+b)+c}{x+2} =\dfrac{ax^2 + ( 2a+b)x + 2b + c}{x+2}
Par identification ; on a : a =1 ; 2a+b = -5 \Leftrightarrow b =-7 et 2b+c = 4 \Leftrightarrow c=18 d’où f(x) =x- 7+ \dfrac{18}{x+2}

2) \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} [f(x) - (x - 7)] = \lim\limits_{x \rightarrow -\infty} [f(x) - (x - 7)] =\lim\limits_{x \rightarrow \pm \infty} \dfrac{18}{x+2} = 0 donc la droite (D) d’équation y = x-7 est asymptote oblique à la courbe de f.