Corrigés – Dérivation des fonctions numériques – 1e L
Exercice 1
Déterminons le nombre dérivé de fen 2
La tangente C_f à a une équation du type y=ax+b car elle est une droite.
Cette tangente en A (2 ;3) passe obligatoirement par A(2 ;3) et B(4 ;7)
Après résolution on obtient a=2 et b=-1 d’où la tangente C_f en à A(2 ;3) a pour équation y=2x-1
Le réel 2 qui se trouve dans l’égalité “y=2x-1” est appelé coefficient directeur ou pente de la tangente ou nombre dérivé de f en 2.
Exercice 2
Calculons la dérivée de f, étudions le signe de f'(x) puis dressons le tableau de variation de f.
Tableau de variation
Tableau de variation
Tableau de variation
f est une fonction rationnelle donc elle est dérivable sur son domaine de définition en particulier sur [-1 ; 4]
Tableau de variation
f est une fonction rationelle, donc, elle est dérivable sur son domaine de définition en particulier sur [-5 ; -\dfrac{3}{2}[~ \cup ~]-\dfrac{3}{2} ; 2]
Tableau de variation
6)~f(x) = x(12-2x)^2 sur I = [0 ; 6[
f est le produit de deux fonctions polynômes donc dérivable sur
Tableau de signe
Tableau de variation
Exercice 3
Tableau de variation
- Représentation graphique de la courbe de f
2/ A l’aide du graphique trouvons le nombre de solution des équations
f(x)=3é;~(fx)=1;~ f(x) =5
- L’équation f(x)=3 admet deux solution
- L’équation f(x)=1 admet trois solutions
- L’équation f(x)=5 admet une seule solution
Donnons suivant les valeurs de \lambda ; le nombre de solution de l’équation f(x)= \lambda ~(\lambda \in \R)
L’équation f(x)= \lambda ~(\lambda \in \R) admet
- une solution pour \lambda \in ~ ]-\infty ; -1[ \cup ]3 ; +\infty[
- deux solution pour \lambda=-1 ~; ~\lambda=3
- trois solutions pour \lambda \in ~]-1 ; 3[
Exercice 4
Soit f(x) = -x^2+ax+b ~(a~et~b~~réels)
Déterminons a et b sachant que la représentation graphique de f passe par le point A(1 ;0) et que f présente un maximum en x=2.
- La courbe représentative de f passe par le point A (1 ;0) signifie que f(1)=0
c’est-à-dire : -1+a+b=0 - f présente un maximum en x=2 signifie que f'(2)=0 avec f'(x)=2x+a.
f'(2)=0 \leftrightarrow -4+a=0 c’est-à-dire a=4 et b=-3
D’où f(x)=-x^2+4x-3
Exercice 5
Soit f(x) = ax^2+bx+1 ~(a~et~b~étant~réels)
Déterminons a et b sachant que la représentation graphique de f admet une tangente horizontale au point d’abscisse \frac{3}{2} et que le coefficient directeur de la tangente a la coure de au point d’abscisse 1 est -1
- la représentation graphique f de admet une tangente horizontale au point x=\frac{3}{2} signifie que f'(\frac{3}{2})= 0 avec f'(x)=2ax+b.
f'(\frac{3}{2}) = 0 \leftrightarrow 3a+b=0 - Le coefficient directeur de la tangente a la coure de f au point x = 1 est -1
Signifie que f'(1)=-1
f'(1)=2a+b=-1
On résoud le système \begin{cases} 3a+b=0 \\ 2a+b=-1\end{cases} et on trouve a=1 et b=-3
D’où f(x)=x^2-3
Exercice 6
1) Ensemble de définition
f(x) existe si x2+4 \ne 0 or \forall~ x \in \R ; x2 +4 \ne 0 donc Df = \R.
2) Etude de la parité
donc f est paire
Comme f est paire, alors ( C ) admet pour axe de symétrie l’axe des ordonnées.
3) Détermination de réels a et b
-32x \geq 0 \leftrightarrow x \leq 0 ce qui signifie que pour x \leq 0 ; f’(x) \geq 0 et pour x \geq 0 ; f’(x) \leq 0.
Ainsi sur]-\infty~;~0 ] ; f’(x) \geq 0 donc f est croissante et sur [0 ; +\infty[ ; f’(x) \leq 0 donc f est décroissante.
5) Coordonnées des points d’intersection
> Avec l’axe des abscisses
Soit A(x ;y) avec y=f(x) le point d’intersection de ( C ) avec l’axe des abscisses. En ce point A ; y=0=f(x) donc A(x ;0)
Pour trouver x, on résout l’équation f(x)=0
Ainsi ,(C) coupe l’axe des abscisses aux point A(-2 ; 0) et A’(2 ; 0)
> Avec l’axe des ordonnées
Soit B(x ;y) avec y=f(x) le point d’intersection de (C )avec l’axe des ordonnées. En ce point B ;x=0 donc B(0 ;y).
Pour trouver y, on calcule f(0).
Ainsi (C ) coupe l’axe des ordonnées au point B(0 ;2)
6) Equation de la tangente (T) du point d’abscisse x=2
(T) :y= f’(2)(x-2)+f(2)
Tableau de variation
Exercice7
1) Exprimons le périmètre p(x) de ces rectangles en fonction de x
Tableau de variation
Suivant le tableau de variation de la fonction p ; p(x) admet sur ]0~;+\infty[ un minimum égal à 16. Ce minimum est atteint pou x=4 d’où pour x+4 le périmètre est minimum.
Exercice 8
1) La hauteur du pont
Pour x = 0 le lanceur est sur le pont et ce moment la hauteur f(x) est f(0)=-5(0)^2+10 \times 0+15=15 d’où la hauteur du pont est 15 m.
2) L’instant auquel la balle tombera au sol
En ce instant, la hauteur f(x) est nulle c’est-à-dire f(x)=0.
Résolvons l’équation f(x)=0
La durée étant positive alors x=3. On conclut que la balle retombera au sol au bout de 3 secondes.
La hauteur maximale atteinte par la balle en ce point la tangente a la trajectoire de la balle (courbe représentative de f) est horizontale donc la dérivée est nulle en ce point.
On conclut que la hauteur maximale atteinte par la balle est 20 m au-dessus du sol.
4) Représentation graphique de la trajectoire de la balle
