Corrigés – Fonctions numériques

Exercice 1

1) f(x) a pour forme canonique : 2[(x -2)^2 – 1]
2) f(x) a pour forme canonique : -(x +\dfrac{1}{3})^2
3) f(x) a pour forme canonique : \dfrac{5}{2}[(x + 3)^2 + 3]

Exercice 2

1) Δ< 0 donc -x^2 + 6x -10 = 0 n’admet aucune solution dans \R

2) Δ > 0 donc x^2 + 4x – 21 = 0 admet deux racines réelles :
x_1 =\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
et
x_2 =\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
S={-7;3}

3).Δ = 0 donc 9x^2 + 6x + 1 = 0 admet une racine double x=\dfrac{-b}{2a}
S={-\dfrac{1}{3}}

Exercice 3

1) Δ> 0 donc x^2 + 4x – 21 se factorise en :
(x + 7)(x – 3).
2) Δ = 0 donc 8x^2+8x+2  se factorise en :
8(x+\dfrac{1}{2})^2
3) Δ < 0 donc -3x^2 + 7x -8 ne se factorise pas .

Exercice 4

1). Δ = 0 donc 8x^2 + 8x + 2 est du signe de a donc 8x^2 + 8x + 2 est positif ou nul

2). Δ < 0 donc 2x^2 – 3x + 2 est strictement du signe de a
donc 2x^2 – 3x + 2 est positif.

3). Δ > 0 donc -x^2 -3x + 10 est du signe de a à l’extérieur des racines et du signe de -a à l’intérieur des racines.
Or -x^2-3x + 10 admet comme racines 2 et -5
Donc -x^2 -3x + 10 > 0 lorsque x appartient à ]-5 ;2[
-x^2 -3x + 10 < 0 lorsque x appartient à ]-\infty ; -5[ \cup ]2 ; +\infty [[/latex]
-x^2 -3x + 10 = 0 lorsque x = -5 ou x = 2
f_3(-7) < 0 , f_3 \dfrac{1}{2})> 0 et f_3(148) < 0

Exercice 5

1) Δ< 0 donc 2x^2 – 3x + 2 est strictement du signe de a donc
2x^2 – 3x + 2 est positif. Donc S=\varnothing

2) Δ= 0 donc 8x^2 + 8x + 2 est du signe de a donc 8x^2 + 8x + 2 est positif ou nul.
Donc S=-\dfrac{1}{2}

3) Δ> 0 donc -x^2 -3x + 10 est du signe de a à l’extérieur des racines et du signe de -a à l’intérieur.
Or -x^2 -3x + 10 admet comme racines 2 et -5.
Donc S=] -\infty ; -5[ \cup ]2 ; +\infty [

Exercice 6

1) Résoudre mentalement les équations suivantes :
a) 3x^2+7x-10=0
x=1
b) 2x^2+9x+7=0
x=-1

2) Vérifier que 2 est racine de l’équation x^2+11x-26=0
On remplace x  par 2, si le polynôme s’annule 2 alors est bel et bien une racine de l’équation ci-dessus.
(2)^2+11×2-26 \\ =4+22-26 \\ =0
Quelle est l’autre racine ?
Dans le cas d’un polynôme du second degré de type ax^2+bx+c,
le produit des deux racines et de α vaut c, autrement dit :
\alpha_1 \times \alpha_2 \times a= c
Ici on a \alpha _1 =2, a=1, c=-26, par conséquent \alpha_2 =-13

3). Écrire une équation du second degré admettant les nombres 3 et -5 pour racines.
Le polynôme recherché admet pour racines a et b, il est alors factorisable en
P(x)=(x-a)(x-b) g(x) , avec g(x)  un autre polynôme de degrés Deg(P)-2 . Ici comme le polynôme P est de degrés 2, on peut le mettre sous la forme : k(x-3)(x+5),
soit kx^2+2kx-15k=0.
Par exemple avec k=1 , on a : x^2+2x-15=0. Et 3 et -5 sont des racines évidentes de cette équation.

4). Existe-t-il deux nombres ayant pour somme 9 et pour produit -70 ? Si oui, les calculer.
On doit résoudre le système d’équations suivant :
\begin{cases} x+y=9 \\x \times y=-70\end{cases}
On isole une des deux variables de la deuxième équation, puis on la remplace dans la première, ce qui aboutit à une équation du deuxième degré que l’on pourra résoudre :
x \times y=-70
x= \dfrac{-70}{y}
On remplace x dans la première ligne du système :
\dfrac{-70}{y} +y=9
\dfrac{y^2-70}{y} =9
y^2 -70=9y \\ y^2 -9y-70=0
On remarque que ce polynôme aurait bien pu admettre comme variable x , après avoir effectuer le discriminant, on aura 2 racines qui correspondront à x et y (peu importe).
Δ=b^2 -4ac
Δ=(-9)^2 -4(1 \times -70)
Δ=81+280
Δ=361
\alpha_1 =\dfrac{-b-\sqrt{\varDelta}}{2a}

\alpha_1 =\dfrac{9-19}{2}
\alpha_1=-5

\alpha_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\varDelta}}{2a}

\alpha_2 = \dfrac{9+19}{2}
\alpha_2=14
On en conclut que le couple (x;y) est associé au couple de solution (-5 ; 14).

Exercice 7

a) Pour tout x \in \R , f(x)=2x^2
f(0)=2 \times 0=0
f((\sqrt{2}))=2\times (\sqrt{2})^2=2\times 2=4
f(-4)=2 \times (-4)^2=2 \times 16=32

b) f(\sqrt{2})=2 \times ((\sqrt{2})^2 =2 \times 2=4
f(\sqrt{-2})=2 \times (-(\sqrt{2})^2)=2 \times 2=4
On a donc bien :
f(\sqrt{2})=f(\sqrt{-2})= 4

c) La fonction f associe à tout réel x un réel égal à 2x^2. Or un carré est toujours positif, donc -4 ne peut être l’image d’aucun réel par la fonction f.

d) On cherche les tels que  f(x) =\dfrac{5}{4}
f(x)=\dfrac{5}{4}\iff 2x^2= \dfrac{5}{4}
Il faut donc résoudre l’équation
2x^2= \dfrac{5}{4}
x^2= \dfrac{5}{8}
x= \sqrt(\dfrac{5}{8}) ou x=-\sqrt(\dfrac{5}{8})
x= \sqrt(\dfrac{5}{2 \times 4}) ou x=-\sqrt(\dfrac{5}{2\times 4})
x= \dfrac{1}{2} \sqrt(\frac{5}{2}) ou x=-\dfrac{1}{2} \sqrt(\dfrac{5}{2})

Exercice 8

a) Pour tout réel x, f(x)=x^2+3x+1
f(0)=0^2 +3 \times 0+1=1
f(1)= 1^2+3 \times 1+1=5
f(-\sqrt{3} )=(-\sqrt{3})^2 +3(-\sqrt{3}) +1 = 4-3\sqrt{3}
f(\dfrac{1}{2}) = (\dfrac{1}{2})^2 +3(\dfrac{1}{2}) +1=\dfrac{11}{4}

b) On cherche tous les réels x tels que f(x)=1
f(x)=1 \iff x^2+3x+1=1
Résolvons donc cette équation :
x^2 + 3x + 1 = 1 \\ x^2 + 3x = 0 \\ x (x + 3) = 0 \\ x = 0   ou  x = -3

Exercice 9

a) La fonction f : x \mapsto x est définie pour tout réel x. On a donc :
D_f = \R

b) Le réel \dfrac{1}{x} ne peut pas être calculé pour x=0.
L’ensemble de définition de la fonction f : x ↦ \dfrac{1}{x} est donc :
D_f = ~] -\infty ; 0 [ \cup ] 0 ; +\infty [

c) On peut calculer \sqrt{x} pour tout réel x \ge 0.
L’ensemble de définition de la fonction f : x ↦ \sqrt{x} est donc :
D_f = [ 0 ; +\infty[

d) Pour calculer \dfrac{1}{\sqrt{x}}, on commence par calculer \sqrt{x} ; il faut donc que x soit positif ou nul.
Puis on calcule son inverse \dfrac{1}{\sqrt{x}} ; il faut donc que \sqrt{x} \ne 0, donc x doit être strictement positif.
La fonction f : x ↦ \dfrac{1}{\sqrt{x}} est donc définie sur ] 0 ; + \infty[ .

Exercice 10

a) Soit x le nombre de kilomètres effectués. Soit f(x) le prix total en francs.
f_1(x) = Prix Forfait + Prix Kilométrage
f_1(x) = Prix Forfait + Prix au Kilomètre × Nombre de Kilomètres
f_1(x) = 200 + x
De la même manière :
f_2(x) = 100 + 1,50x

b) Raisonnement graphique

Jusqu’à 200 km, c’est le contrat 2 qui est le plus avantageux (la droite de f_2(x) est en dessous ce celle de f_1(x) ).
A partir de 200 km, c’est le contrat 1 qui devient plus avantageux (la droite de f_1(x) est en dessous de celle de f_2(x) ).

c) Raisonnement par le calcul
Dans quel intervalle de x a-t-on f_1(x) < f_2(x) (contrat 1 plus avantageux) ?
f_1 (x) < f_2 (x) \\ f_1 (x) – f_2 (x)<0 \\ (200 + x) – (100 + 1,5x)<0 \\ 200 + x -100 – 1,5 <0 \\ 100 – 0,5x<0 \\ 0,5x>100 \\ x > \dfrac{100}{0,5} \\ x>200
On voit donc bien que le contrat 1 est plus avantageux que le contrat 2 pour x > 200 (distance parcourue supérieure à 200km)
Pour montrer que f_2(x) est plus avantageux que f_1(x) pour x < 200, on procède de la même façon que précédemment.

Exercice 11

a) Le volume de la boîte parallélépipédique est donné par :
V = L × l × h
avec L = l = 20 – 2a et h = a
V = a.(20 – 2a)^2
V = a.(20^2 – 2 × 20 × 2a + (2a)^2)
V = 4a^3 – 80a^2 + 400a

b) a étant une longueur, on ne peut pas avoir a < 0. Donc -1 n’est pas dans l’ensemble de définition de V = f(a)
De même, d’un point de vue “physique”, a ne peut pas être supérieur à 10 cm.~~ 2,3 appartient donc à l’ensemble de définition de V = f(a)
L’ensemble de définition de V = f(a) est :
D_f = ~~]0 ; 10[

Exercice 12

1) Aucun problème de définition de f : toutes les valeurs possibles pour  x ont une image par f.
D’où : D_f = \R
f(x) = \dfrac{2}{x^2 – 4}

2) f est définie si et seulement si le dénominateur ne s’annule pas. On cherche donc la (ou les) valeur(s) interdite(s) :
x^2 -4 \ne 0
x \ne -2 et x \ne 2
D’où : D_f = \R\{-2;2}

3) F(x) = \dfrac{x^2+x+1}{x^2-14x+49}
x^2 – 14x + 49 \ne 0
(x-7)^2 \ne 0
x \ne 7
D’où : D_f= \R\{7}.

4)   f(x)= \sqrt{\dfrac{x+1}{2-x}}
Il faut que l’expression sous la racine soit positive ou nulle et que le dénominateur soit non nul :
\dfrac{x+1}{2-x} \geq 0 et 2-x \ne 0
Etudions le signe de : \dfrac{x+1}{2-x}
x+1 \leq 0 si et seulement si x \leq -1
et
2-x \leq 0 si et seulement si x \geq 2
On trouve D_f = [-1 ;2[

Exercice 13

1) D_f = D_g = \R
On reconnaît l’identité remarquable :
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
Donc :
f(x)= x^2 +4x +4= (x+2)^2= g(x)
D’où : f=g

2) D_f = \R\{2} et D_g =\R
Or, pour que deux fonctions soient égales il faut qu’elles le soient pour toutes les valeurs de x.
Pour x=2, f n’est pas définie et g l’est.
D’où : f \ne g

3) f(x)=\dfrac{x-1}{2x-5}=\dfrac{-(-x+1)}{-(-2x+5)}=\dfrac{1-x}{-2x+5}=g(x)

Exercice 14

1) L’ensemble de définition de la fonction f est symétrique par rapport à 0.
Pour tout x appartenant à :
D_f, \\ f(-x)= 3(-x)= -3x = -f(x)
D’où : la fonction f est impaire.

2) L’ensemble de définition de la fonction f est symétrique par rapport à 0.
Pour tout x appartenant à D_f,   
f(-x)=\dfrac{(-x)^2-2}{(-x)^2+1}=\dfrac{x^2-2}{x^2+1}=f(x)
D’où : la fonction f est paire.

3.) L’ensemble de définition de la fonction f est symétrique par rapport à 0.
Pour tout appartenant à D_f, \\ f(-x)=(-x)^2 – (-x)= x^2 + x
Donc : f(-x) \ne f(x) et f(-x) \ne -f(x) .
D’où : f n’est ni paire ni impaire.

4). L’ensemble de définition de la fonction f est symétrique par rapport à 0.
Pour tout x appartenant à D_f,
f(-x)=\dfrac{-4}{(-x)^3-(-x)}=\dfrac{-4}{-(x^3-x)}= -f(x)
D’où : la fonction f est impaire.

5). L’ensemble de définition de la fonction f est symétrique par rapport à 0.
Pour tout x appartenant à D_f, \\ f(-x)=\sqrt{(-x)^2-5}=\sqrt{x^2-5}=f(x)
D’où : la fonction f est paire.

6). L’ensemble de définition de la fonction f est symétrique par rapport à 0.
Pour tout x appartenant à D_f,
f(-x)=\dfrac{4|-x|}{-x}=\dfrac{4|x|}{-x}=-f(x)
D’où : la fonction f est impaire.

Exercice 15

1) S_1={-\frac{2}{3}} et S<sub>2</sub> =]-\dfrac{2}{3} ; +\infty [
2)


S_1 ={1} et S_2 =]-\infty ; 1[

3)


S_1 = {-1;1} et S_2 =]-\infty; -1[ \cup ]1; + \infty[

4)


S_1 = \varnothing et S_2 = ]-\infty ; 2[

Exercice 16

1) f(x) = -x + 2
Soient a et b deux réels tels que a < b, alors :
-a > -b et -a + 2 > -b + 2
D’où : a < b entraîne f(a) > f(b) : f est décroissante sur \R

2) f(x) = 3x^2
Soient a et b deux réels de ]-\infty; 0] tels que a < b \leq 0, alors :
f(a) – f(b) = 3a^2 – 3b^2 \\ = 3(a^2 – b^2) \\ = 3(a – b)(a + b)
Comme a et b sont deux réels négatifs, alors a + b < 0.
Comme a < b, alors a – b < 0.
Donc : 3(a – b)(a + b) > 0
D’où : a < b \leq 0 entraîne f(a) > f(b) : f est décroissante sur \infty ; 0[ .
Soient a et b deux réels de ]0; +\infty [ tels que 0 \leq a < b, alors :
f(a) – f(b) = 3(a – b)(a + b)
Comme a et b sont deux réels positifs, alors a + b > 0.
Comme a < b, alors a – b < 0.
Donc : 3(a – b)(a + b) < 0
D’où : 0 \leq a < b entraîne f(a) < f(b) : f est croissante sur ]0 ; +\infty[.

Exercice 17

Pour tout réel x, f(x) = 3x – 2
f est une fonction affine de coefficient directeur 3, strictement positif.
Donc f est croissante sur \R .
Autre méthode ; Soient a et b deux réels tels que a < b.
On a :
f(a) – f(b) = 3a – 2 – (3b – 2) \\ = 3a – 2 – 3b + 2 \\ = 3(a – b)
Comme a < b, alors a – b < 0.
Donc 3(a – b) < 0.
Conclusion : Pour tous réels a et b tels que :
a < b, f(a) – f(b) < 0, soit f(a) <f(b).
La fonction f est donc croissante sur \R .

Exercice 18

NON, une fonction qui n’est pas croissante sur un intervalle I n’est pas nécessairement décroissante; elle peut être constante (exemple : f(x) = 4) ou ni croissante, ni décroissante (exemple : f(x) = \cos(x) sur I = [0: 2 \pi]).

Exercice 19

1) Le minimum de la fonction f est atteint en 2 et vaut 1.
Donc pour tout réel x, f(x) \geq 1 (définition du minimum), donc en particulier f(x) > 0.

2) L’inéquation f(x) \geq 1 a donc comme ensemble de solutions : .
S= \R

Exercice 20

Pour tout réel x, f(x) = 2|x|.
Donc, pour tout réel <em>x</em>, \\ f(x) = \begin{cases} 2 x si x \geq 0 \\-2 x si x \le 0 \end{cases}
Sur ]-\infty ; 0], f est une fonction linéaire de coefficient négatif.
Donc f est décroissante sur ]-\infty ; 0].
Sur [0; +\infty [, f est une fonction linéaire de coefficient directeur positif.
Donc f est croissante sur [0; +\infty [.

Exercice 21

Pour tout réel x, f(x) = \dfrac{-x}{2}
f est une fonction linéaire de coefficient \dfrac{-1}{2} , strictement négatif.
Donc f est décroissante sur \R .


Représentation graphique
f(2) = \dfrac{-2}{2}= -1 et f(-4) = \dfrac{-(-4)}{2} = 2.
Donc les points A(2; -1) et B(4; 2) appartiennent à la représentation graphique de la fonction f.

Exercice 22

1) Pour tous réels a et b positifs, on a :
\sqrt{a} + \sqrt{b}   =  \dfrac{(\sqrt {a}+\sqrt{b})(\sqrt {a}+\sqrt{b})}{\sqrt {a}+\sqrt{b}} \\ = \dfrac{(\sqrt {b}^2)(\sqrt {a}^2)}{\sqrt {a}+\sqrt{b}} \\ = \dfrac{b-a}{\sqrt {a}+\sqrt{b}} 
D’où pour tous réels a et b positifs,
on a -\sqrt{a} +\sqrt{b} = \dfrac{b-a}{\sqrt {a}+\sqrt{b}} 

2) Soient a et b deux réel positifs tels que 0 \le a < b.
On a : f(a)-f(b)= -\sqrt{a} + \sqrt{b} \\ = \dfrac{b-a}{\sqrt {a}+\sqrt{b}} 
(d’après la question précédente) Or, a < b, donc b – a > 0.
Comme \sqrt{a} et \sqrt{b} sont deux nombres positifs,
alors \sqrt{a} + \sqrt{b}>0
Conclusion : pour tous réels a et b positifs tels que :
0 \le a < b, f(a) >f(b).
La fonction f est donc décroissante sur [0 ; +\infty[.

Exercice 23

Pour représenter graphiquement le système, il faut tracer les deux
courbes d’équation y = 3x^2 et g(x) = 2 – x .

Les solutions de ce système sont les points d’intersection de ces deux courbes.
Donc : graphiquement on obtient S = {-1; 0,6}.

Exercice 24

a) x^2 < 3 équivaut successivement à
x^2 – 3 < 0 \\ x^2 – (\sqrt{3} )^2 < 0 \\ (x – \sqrt{3})(x + \sqrt{3}) < 0 \\ x – \sqrt{3} < 0 si x< \sqrt{3} \\ x + \sqrt{3} < 0 si x< – \sqrt{3}
D’où S=]-\sqrt{3};\sqrt{3}[

b) On trace la courbe représentative de la fonction f définie sur \R par f(x) = x^2 et la droite d’équation y = 3.
Les solutions de l’inéquation x^2 < 3 sont les abscisses des points de la courbe d’équation y = x^2 situés en dessous de la droite d’équation y = 3.

Représentation graphique :

S=]-\sqrt{3} ; \sqrt{3}[

Exercice 25

f est définie sur [0 ; +\infty[. Son ensemble de définition n’est pas symétrique  par rapport à 0, donc la fonction f ne peut être ni paire ni impaire.

Exercice 26

1) f(x)>10^6 \Leftrightarrow \dfrac{1}{x}>10^6
\iff[ x <\dfrac{1}{10^6}
\iff x <10^{-6}
D’où S = ]-\infty ; 10^{-6}[.

2) D’où S = ]10^{-5} ; + \infty [.

3) 0<f(x)<10^{-4} \Leftrightarrow 0< \dfrac{1}{x} < \frac{1}{10^4}
\iff x>10^4
D’où S= ]10^4 ; +\infty[.

Exercice 27

1) Soient a et b deux réels de ]0; +\infty [ tels que 0 < a < b. On a :
f(a) – f(b) = -\dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}=\dfrac{-2b + 2a}{ab} \\ =\dfrac{2(a-b)}{ab}
Comme a et b sont strictement positifs, alors a.b > 0.
Comme a < b, alors a – b < 0.
Donc \dfrac{2(a-b)}{ab}
C’est à dire f(a) – f(b) < 0.
Conclusion : Pour tous réels a et b de ]0; +\infty [ tels que:
0 < a < b, on a f(a) <f(b). La fonction f est donc croissante sur ]0; +\infty [

2) Soient a et b deux réels de ]-\infty ; 0[ tels que a < b < 0. On a :
f(a) – f(b) = \dfrac{2(a-b)}{ab}<0
Comme a et b sont strictement négatifs, alors a.b > 0.
Comme a < b, alors a – b < 0.
Donc \dfrac{2(a-b)}{ab} < 0
C’est à dire f(a) – f(b) < 0
Conclusion : Pour tous réels a et b de ]-\infty ; 0[ tels que a < b < 0, on a f(a) <f(b). La fonction f est donc croissante sur ]0 ; +\infty[.

Remarque : f est une fonction impaire, donc la représentation graphique de la fonction f est symétrique par rapport à l’origine du repère.

Exercice 28

\begin{cases} y=\dfrac{3}{x}\\ y=x-2 \end{cases}
Pour résoudre graphiquement ce système, on trace dans une repère orthonormal, la courbe C d’équation y = \dfrac{3}{x} et la droite D d’équation y = <em>x</em> – 2.
Les solutions du système sont les coordonnées des points d’intersection de C et D .

S={(-1;-3); (3;1)}