Corrigés - Fonctions numériques

2nde S Mathématiques 2. Fonctions numériques Corrigés – Fonctions numériques

Exercice 1

1) $f(x)$ a pour forme canonique : $2[(x -2)^2 - 1]$
2) $f(x)$ a pour forme canonique : $-(x +\dfrac{1}{3})^2$
3) $f(x)$ a pour forme canonique : $\dfrac{5}{2}[(x + 3)^2 + 3]$

Exercice 2

1) Δ< 0 donc $-x^2 + 6x -10 = 0$ n’admet aucune solution dans $\R$

2) Δ > 0 donc $x^2 + 4x - 21 = 0$ admet deux racines réelles :
$x_1 =\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
et
$x_2 =\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$S=$ { $-7;3$ }

3).Δ = 0 donc $9x^2 + 6x + 1 = 0$ admet une racine double $x=\dfrac{-b}{2a}$
$S=$ { $-\dfrac{1}{3}$ }

Exercice 3

1) Δ> 0 donc $x^2 + 4x - 21$ se factorise en :
$(x + 7)(x - 3)$ .
2) Δ = 0 donc $8x^2+8x+2$ se factorise en :
$8(x+\dfrac{1}{2})^2$
3) Δ < 0 donc $-3x^2 + 7x -8$ ne se factorise pas .

Exercice 4

1). Δ = 0 donc $8x^2 + 8x + 2$ est du signe de a donc $8x^2 + 8x + 2$ est positif ou nul

2). Δ < 0 donc $2x^2 - 3x + 2$ est strictement du signe de $a$
donc $2x^2 - 3x + 2$ est positif.

3). Δ > 0 donc $-x^2 -3x + 10$ est du signe de a à l’extérieur des racines et du signe de $-a$ à l’intérieur des racines.
Or $-x^2-3x + 10$ admet comme racines $2$ et $-5$
Donc $-x^2 -3x + 10 > 0$ lorsque $x$ appartient à $]-5 ;2[$
$-x^2 -3x + 10 < 0$ lorsque x appartient à $]-\infty ; -5[ \cup$ ]2 ; +\infty [[/latex]
$-x^2 -3x + 10 = 0$ lorsque $x = -5$ ou $x = 2$
$f_3(-7) < 0 , f_3 \dfrac{1}{2})> 0$ et $f_3(148) < 0$

Exercice 5

1) Δ< 0 donc $2x^2 - 3x + 2$ est strictement du signe de a donc
$2x^2 - 3x + 2$ est positif. Donc $S=\varnothing$

2) Δ= 0 donc $8x^2 + 8x + 2$ est du signe de a donc $8x^2 + 8x + 2$ est positif ou nul.
Donc $S=-\dfrac{1}{2}$

3) Δ> 0 donc $-x^2 -3x + 10$ est du signe de $a$ à l’extérieur des racines et du signe de $-a$ à l’intérieur.
Or $-x^2 -3x + 10$ admet comme racines $2$ et $-5$ .
Donc $S=] -\infty ; -5[ \cup ]2 ; +\infty [$

Exercice 6

1) Résoudre mentalement les équations suivantes :
a) $3x^2+7x-10=0$
$x=1$
b) $2x^2+9x+7=0$
$x=-1$

2) Vérifier que $2$ est racine de l’équation $x^2+11x-26=0$
On remplace x par $2$ , si le polynôme s’annule $2$ alors est bel et bien une racine de l’équation ci-dessus.
$(2)^2+11×2-26 \\ =4+22-26 \\ =0$
Quelle est l’autre racine ?
Dans le cas d’un polynôme du second degré de type $ax^2+bx+c,$
le produit des deux racines et de α vaut $c,$ autrement dit :
$\alpha_1 \times \alpha_2 \times a= c$
Ici on a $\alpha _1 =2, a=1, c=-26,$ par conséquent $\alpha_2 =-13$

3). Écrire une équation du second degré admettant les nombres $3$ et $-5$ pour racines.
Le polynôme recherché admet pour racines $a$ et $b,$ il est alors factorisable en
$P(x)=(x-a)(x-b) g(x)$ , avec $g(x)$ un autre polynôme de degrés $Deg(P)-2$ . Ici comme le polynôme $P$ est de degrés $2,$ on peut le mettre sous la forme : $k(x-3)(x+5),$
soit $kx^2+2kx-15k=0.$
Par exemple avec $k=1$ , on a : $x^2+2x-15=0$ . Et $3$ et $-5$ sont des racines évidentes de cette équation.

4). Existe-t-il deux nombres ayant pour somme $9$ et pour produit $-70$ ? Si oui, les calculer.
On doit résoudre le système d’équations suivant :
$\begin{cases} x+y=9 \\x \times y=-70\end{cases}$
On isole une des deux variables de la deuxième équation, puis on la remplace dans la première, ce qui aboutit à une équation du deuxième degré que l’on pourra résoudre :
$x \times y=-70$
$x= \dfrac{-70}{y}$
On remplace $x$ dans la première ligne du système :
$\dfrac{-70}{y} +y=9$
$\dfrac{y^2-70}{y} =9$
$y^2 -70=9y \\ y^2 -9y-70=0$
On remarque que ce polynôme aurait bien pu admettre comme variable $x$ , après avoir effectuer le discriminant, on aura $2$ racines qui correspondront à $x$ et $y$ (peu importe).
Δ $=b^2 -4ac$
Δ $=(-9)^2 -4(1 \times -70)$
Δ $=81+280$
Δ $=361$
$\alpha_1 =\dfrac{-b-\sqrt{\varDelta}}{2a}$

$\alpha_1 =\dfrac{9-19}{2}$
$\alpha_1=-5$

$\alpha_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\varDelta}}{2a}$

$\alpha_2 = \dfrac{9+19}{2}$
$\alpha_2=14$
On en conclut que le couple $(x;y)$ est associé au couple de solution $(-5 ; 14).$

Exercice 7

a) Pour tout $x \in \R , f(x)=2x^2$
$f(0)=2 \times 0=0$
$f((\sqrt{2}))=2\times (\sqrt{2})^2=2\times 2=4$
$f(-4)=2 \times (-4)^2=2 \times 16=32$

b) $f(\sqrt{2})=2 \times ((\sqrt{2})^2 =2 \times 2=4$
$f(\sqrt{-2})=2 \times (-(\sqrt{2})^2)=2 \times 2=4$
On a donc bien :
$f(\sqrt{2})=f(\sqrt{-2})= 4$

c) La fonction $f$ associe à tout réel $x$ un réel égal à $2x^2$ . Or un carré est toujours positif, donc $-4$ ne peut être l’image d’aucun réel par la fonction $f.$

d) On cherche les tels que $f(x) =\dfrac{5}{4}$
$f(x)=\dfrac{5}{4}\iff 2x^2= \dfrac{5}{4}$
Il faut donc résoudre l’équation
$2x^2= \dfrac{5}{4}$
$x^2= \dfrac{5}{8}$
$x= \sqrt(\dfrac{5}{8})$ ou $x=-\sqrt(\dfrac{5}{8})$
$x= \sqrt(\dfrac{5}{2 \times 4})$ ou $x=-\sqrt(\dfrac{5}{2\times 4})$
$x= \dfrac{1}{2} \sqrt(\frac{5}{2})$ ou $x=-\dfrac{1}{2} \sqrt(\dfrac{5}{2})$

Exercice 8

a) Pour tout réel $x, f(x)=x^2+3x+1$
$f(0)=0^2 +3 \times 0+1=1$
$f(1)= 1^2+3 \times 1+1=5$
$f(-\sqrt{3} )=(-\sqrt{3})^2 +3(-\sqrt{3}) +1 = 4-3\sqrt{3}$
$f(\dfrac{1}{2}) = (\dfrac{1}{2})^2 +3(\dfrac{1}{2}) +1=\dfrac{11}{4}$

b) On cherche tous les réels x tels que $f(x)=1$
$f(x)=1 \iff x^2+3x+1=1$
Résolvons donc cette équation :
$x^2 + 3x + 1 = 1 \\ x^2 + 3x = 0 \\ x (x + 3) = 0 \\ x = 0$ ou $x = -3$

Exercice 9

a) La fonction $f : x \mapsto x$ est définie pour tout réel $x.$ On a donc :
$D_f = \R$

b) Le réel $\dfrac{1}{x}$ ne peut pas être calculé pour $x=0$ .
L’ensemble de définition de la fonction $f : x ↦ \dfrac{1}{x}$ est donc :
$D_f = ~] -\infty ; 0 [ \cup ] 0 ; +\infty [$

c) On peut calculer $\sqrt{x}$ pour tout réel $x \ge 0.$
L’ensemble de définition de la fonction $f : x ↦ \sqrt{x}$ est donc :
$D_f = [ 0 ; +\infty[$

d) Pour calculer $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ , on commence par calculer $\sqrt{x}$ ; il faut donc que $x$ soit positif ou nul.
Puis on calcule son inverse $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ ; il faut donc que $\sqrt{x} \ne 0$ , donc x doit être strictement positif.
La fonction $f : x ↦ \dfrac{1}{\sqrt{x}}$ est donc définie sur $] 0 ; + \infty[$ .

Exercice 10

a) Soit $x$ le nombre de kilomètres effectués. Soit $f(x)$ le prix total en francs.
$f_1(x) =$ Prix Forfait + Prix Kilométrage
$f_1(x) =$ Prix Forfait + Prix au Kilomètre × Nombre de Kilomètres
$f_1(x) = 200 + x$
De la même manière :
$f_2(x) = 100 + 1,50x$

b) Raisonnement graphique

Jusqu’à 200 km, c’est le contrat $2$ qui est le plus avantageux (la droite de $f_2(x)$ est en dessous ce celle de $f_1(x)$ ).
A partir de 200 km, c’est le contrat $1$ qui devient plus avantageux (la droite de $f_1(x)$ est en dessous de celle de $f_2(x)$ ).

c) Raisonnement par le calcul
Dans quel intervalle de x a-t-on $f_1(x) < f_2(x)$ (contrat $1$ plus avantageux) ?
$f_1 (x) < f_2 (x) \\ f_1 (x) – f_2 (x)<0 \\ (200 + x) – (100 + 1,5x)<0 \\ 200 + x -100 – 1,5 <0 \\ 100 – 0,5x<0 \\ 0,5x>100 \\ x > \dfrac{100}{0,5} \\ x>200$
On voit donc bien que le contrat $1$ est plus avantageux que le contrat $2$ pour $x > 200$ (distance parcourue supérieure à 200km)
Pour montrer que $f_2(x)$ est plus avantageux que $f_1(x)$ pour $x < 200,$ on procède de la même façon que précédemment.

Exercice 11

a) Le volume de la boîte parallélépipédique est donné par :
$V = L \times l \times h$
avec $L = l = 20 - 2a$ et $h = a$
$V = a.(20 - 2a)^2$
$V = a.(20^2 - 2 \times 20 \times 2a + (2a)^2)$
$V = 4a^3 - 80a^2 + 400a$

b) $a$ étant une longueur, on ne peut pas avoir $a < 0.$ Donc $-1$ n’est pas dans l’ensemble de définition de $V = f(a)$
De même, d’un point de vue “physique”, a ne peut pas être supérieur à $10 cm.~~ 2,3$ appartient donc à l’ensemble de définition de $V = f(a)$
L’ensemble de définition de $V = f(a)$ est :
$D_f = ~~]0 ; 10[$

Exercice 12

1) Aucun problème de définition de $f$ : toutes les valeurs possibles pour $x$ ont une image par $f.$
D’où : $D_f = \R$
$f(x) = \dfrac{2}{x^2 – 4}$

2) $f$ est définie si et seulement si le dénominateur ne s’annule pas. On cherche donc la (ou les) valeur(s) interdite(s) :
$x^2 -4 \ne 0$
$x \ne -2$ et $x \ne 2$
D’où : $D_f = \R$ \{-2;2}

3) $F(x) = \dfrac{x^2+x+1}{x^2-14x+49}$
$x^2 – 14x + 49 \ne 0$
$(x-7)^2 \ne 0$
$x \ne 7$
D’où : $D_f= \R$ \{7}.

4) $f(x)= \sqrt{\dfrac{x+1}{2-x}}$
Il faut que l’expression sous la racine soit positive ou nulle et que le dénominateur soit non nul :
$\dfrac{x+1}{2-x} \geq 0$ et $2-x \ne 0$
Etudions le signe de : $\dfrac{x+1}{2-x}$
$x+1 \leq 0$ si et seulement si $x \leq -1$
et
$2-x \leq 0$ si et seulement si $x \geq 2$
On trouve $D_f = [-1 ;2[$

Exercice 13

1) $D_f = D_g = \R$
On reconnaît l’identité remarquable :
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
Donc :
$f(x)= x^2 +4x +4= (x+2)^2= g(x)$
D’où : $f=g$

2) $D_f = \R$ \{2} et $D_g =\R$
Or, pour que deux fonctions soient égales il faut qu’elles le soient pour toutes les valeurs de $x.$
Pour x=2, f n’est pas définie et g l’est.
D’où : $f \ne g$

3) $f(x)=\dfrac{x-1}{2x-5}=\dfrac{-(-x+1)}{-(-2x+5)}=\dfrac{1-x}{-2x+5}=g(x)$

Exercice 14

1) L’ensemble de définition de la fonction $f$ est symétrique par rapport à $0.$
Pour tout $x$ appartenant à :
$D_f, \\ f(-x)= 3(-x)= -3x = -f(x)$
D’où : la fonction $f$ est impaire.

2) L’ensemble de définition de la fonction $f$ est symétrique par rapport à $0.$
Pour tout $x$ appartenant à $D_f$ ,
$f(-x)=\dfrac{(-x)^2-2}{(-x)^2+1}=\dfrac{x^2-2}{x^2+1}=f(x)$
D’où : la fonction $f$ est paire.

3.) L’ensemble de définition de la fonction $f$ est symétrique par rapport à $0.$
Pour tout appartenant à $D_f, \\ f(-x)=(-x)^2 – (-x)= x^2 + x$
Donc : $f(-x) \ne f(x)$ et $f(-x) \ne -f(x) .$
D’où : $f$ n’est ni paire ni impaire.

4). L’ensemble de définition de la fonction $f$ est symétrique par rapport à $0.$
Pour tout $x$ appartenant à $D_f$ ,
$f(-x)=\dfrac{-4}{(-x)^3-(-x)}=\dfrac{-4}{-(x^3-x)}= -f(x)$
D’où : la fonction $f$ est impaire.

5). L’ensemble de définition de la fonction $f$ est symétrique par rapport à $0.$
Pour tout $x$ appartenant à $D_f, \\ f(-x)=\sqrt{(-x)^2-5}=\sqrt{x^2-5}=f(x)$
D’où : la fonction $f$ est paire.

6). L’ensemble de définition de la fonction $f$ est symétrique par rapport à $0.$
Pour tout $x$ appartenant à $D_f,$
$f(-x)=\dfrac{4|-x|}{-x}=\dfrac{4|x|}{-x}=-f(x)$
D’où : la fonction $f$ est impaire.

Exercice 15

1) $S_1=$ {- $\frac{2}{3}$ } et $S2 =]-\dfrac{2}{3} ; +\infty [$
2)

$S_1 =$ {1} et $S_2 =]-\infty ; 1[$

$S_1 =$ {-1;1} et $S_2 =]-\infty; -1[ \cup ]1; + \infty[$

$S_1 = \varnothing$ et $S_2 = ]-\infty ; 2[$

Exercice 16

1) $f(x) = -x + 2$
Soient $a$ et $b$ deux réels tels que a < b, alors :
$-a > -b$ et $-a + 2 > -b + 2$
D’où : a f(b) : f est décroissante sur $\R$

2) $f(x) = 3x^2$
Soient $a$ et $b$ deux réels de $]-\infty; 0]$ tels que $a < b \leq 0$ , alors :
$f(a) – f(b) = 3a^2 – 3b^2 \\ = 3(a^2 – b^2) \\ = 3(a – b)(a + b)$
Comme $a$ et $b$ sont deux réels négatifs, alors $a + b < 0.$
Comme $a < b,$ alors $a - b < 0.$
Donc : $3(a - b)(a + b) > 0$
D’où : $a f(b) : f$ est décroissante sur $\infty ; 0[ .$
Soient $a$ et $b$ deux réels de $]0; +\infty [$ tels que $0 \leq a < b$ , alors :
$f(a) - f(b) = 3(a - b)(a + b)$
Comme $a$ et $b$ sont deux réels positifs, alors $a + b > 0.$
Comme $a < b,$ alors $a - b < 0.$
Donc : $3(a - b)(a + b) < 0$
D’où : $0 \leq a < b$ entraîne $f(a) < f(b) : f$ est croissante sur $]0 ; +\infty[.$

Exercice 17

Pour tout réel $x, f(x) = 3x - 2$
$f$ est une fonction affine de coefficient directeur $3$ , strictement positif.
Donc $f$ est croissante sur $\R$ .
Autre méthode ; Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a < b.$
On a :
$f(a) – f(b) = 3a – 2 – (3b – 2) \\ = 3a – 2 – 3b + 2 \\ = 3(a – b)$
Comme $a < b,$ alors $a - b < 0.$
Donc $3(a - b) < 0.$
Conclusion : Pour tous réels $a$ et $b$ tels que :
$a < b, f(a) - f(b) < 0,$ soit $f(a) <f(b).$
La fonction $f$ est donc croissante sur $\R$ .

Exercice 18

NON, une fonction qui n’est pas croissante sur un intervalle $I$ n’est pas nécessairement décroissante; elle peut être constante (exemple : $f(x) = 4$ ) ou ni croissante, ni décroissante (exemple : $f(x) = \cos(x)$ sur $I = [0: 2 \pi]$ ).

Exercice 19

1) Le minimum de la fonction $f$ est atteint en $2$ et vaut $1.$
Donc pour tout réel $x, f(x) \geq 1$ (définition du minimum), donc en particulier $f(x) > 0.$

2) L’inéquation $f(x) \geq 1$ a donc comme ensemble de solutions : .
$S= \R$

Exercice 20

Pour tout réel $x, f(x) = 2|x|.$
Donc, pour tout réel $x, \\ f(x) = \begin{cases} 2 x si x \geq 0 \\-2 x si x \le 0 \end{cases}$
Sur $]-\infty ; 0], f$ est une fonction linéaire de coefficient négatif.
Donc $f$ est décroissante sur $]-\infty ; 0].$
Sur $[0; +\infty [, f$ est une fonction linéaire de coefficient directeur positif.
Donc $f$ est croissante sur $[0; +\infty [.$

Exercice 21

Pour tout réel $x, f(x) = \dfrac{-x}{2}$
$f$ est une fonction linéaire de coefficient $\dfrac{-1}{2}$ , strictement négatif.
Donc $f$ est décroissante sur $\R$ .

Représentation graphique
$f(2) = \dfrac{-2}{2}= -1$ et $f(-4) = \dfrac{-(-4)}{2} = 2.$
Donc les points $A(2; -1)$ et $B(4; 2)$ appartiennent à la représentation graphique de la fonction $f.$

Exercice 22

1) Pour tous réels $a$ et $b$ positifs, on a :
– $\sqrt{a} + \sqrt{b} = \dfrac{(\sqrt {a}+\sqrt{b})(\sqrt {a}+\sqrt{b})}{\sqrt {a}+\sqrt{b}} \\ = \dfrac{(\sqrt {b}^2)(\sqrt {a}^2)}{\sqrt {a}+\sqrt{b}} \\ = \dfrac{b-a}{\sqrt {a}+\sqrt{b}}$
D’où pour tous réels $a$ et $b$ positifs,
on a $-\sqrt{a}$ + $\sqrt{b} = \dfrac{b-a}{\sqrt {a}+\sqrt{b}}$

2) Soient $a$ et $b$ deux réel positifs tels que $0 \le a < b.$
On a : $f(a)-f(b)= -\sqrt{a} + \sqrt{b} \\ = \dfrac{b-a}{\sqrt {a}+\sqrt{b}}$
(d’après la question précédente) Or, $a < b,$ donc $b - a > 0.$
Comme $\sqrt{a}$ et $\sqrt{b}$ sont deux nombres positifs,
alors $\sqrt{a} + \sqrt{b}>0$
Conclusion : pour tous réels $a$ et $b$ positifs tels que :
$0 \le a < b, f(a) >f(b).$
La fonction $f$ est donc décroissante sur $[0 ; +\infty[.$

Exercice 23

Pour représenter graphiquement le système, il faut tracer les deux
courbes d’équation $y = 3x^2$ et $g(x) = 2 - x .$

Les solutions de ce système sont les points d’intersection de ces deux courbes.
Donc : graphiquement on obtient $S$ = { $-1; 0,6$ }.

Exercice 24

a) $x^2 < 3$ équivaut successivement à
$x^2 – 3 < 0 \\ x^2 – (\sqrt{3} )^2 < 0 \\ (x – \sqrt{3})(x + \sqrt{3}) < 0 \\ x – \sqrt{3} < 0 si x< \sqrt{3} \\ x + \sqrt{3} < 0 si x< – \sqrt{3}$
D’où $S=]-\sqrt{3}$ ; $\sqrt{3}[$

b) On trace la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x^2$ et la droite d’équation $y = 3.$
Les solutions de l’inéquation $x^2 < 3$ sont les abscisses des points de la courbe d’équation $y = x^2$ situés en dessous de la droite d’équation $y = 3.$

Représentation graphique :

S=]-\sqrt{3} ; \sqrt{3}[

Exercice 25

$f$ est définie sur $[0 ; +\infty[$ . Son ensemble de définition n’est pas symétrique par rapport à $0,$ donc la fonction $f$ ne peut être ni paire ni impaire.

Exercice 26

1) $f(x)>10^6 \Leftrightarrow \dfrac{1}{x}>10^6$
$\iff[ x <\dfrac{1}{10^6}$
$\iff x <10^{-6}$
D’où $S = ]-\infty ; 10^{-6}[.$

2) D’où $S = ]10^{-5} ; + \infty [.$

3) $0<f(x)<10^{-4} \Leftrightarrow 0< \dfrac{1}{x} < \frac{1}{10^4}$
$\iff x>10^4$
D’où $S= ]10^4 ; +\infty[.$

Exercice 27

1) Soient $a$ et $b$ deux réels de $]0; +\infty [$ tels que $0 < a < b.$ On a :
$f(a) – f(b) = -\dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}=\dfrac{-2b + 2a}{ab} \\ =\dfrac{2(a-b)}{ab}$
Comme $a$ et $b$ sont strictement positifs, alors $a.b > 0.$
Comme $a < b,$ alors $a - b < 0.$
Donc $\dfrac{2(a-b)}{ab}$
C’est à dire $f(a) - f(b) < 0.$
Conclusion : Pour tous réels $a$ et $b$ de $]0; +\infty [$ tels que:
$0 < a < b,$ on a $f(a) <f(b)$ . La fonction $f$ est donc croissante sur $]0; +\infty [$

2) Soient $a$ et $b$ deux réels de $]-\infty ; 0[$ tels que $a 0.$
Comme $a < b,$ alors $a - b < 0.$
Donc $\dfrac{2(a-b)}{ab} < 0$
C’est à dire $f(a) - f(b) < 0$
Conclusion : Pour tous réels $a$ et $b$ de $]-\infty ; 0[$ tels que $a < b < 0,$ on a $f(a) <f(b)$ . La fonction $f$ est donc croissante sur $]0 ; +\infty[.$

Remarque : $f$ est une fonction impaire, donc la représentation graphique de la fonction $f$ est symétrique par rapport à l’origine du repère.

Exercice 28

$\begin{cases} y=\dfrac{3}{x}\\ y=x-2 \end{cases}$
Pour résoudre graphiquement ce système, on trace dans une repère orthonormal, la courbe $C$ d’équation $y = \dfrac{3}{x}$ et la droite $D$ d’équation $y = x - 2.$
Les solutions du système sont les coordonnées des points d’intersection de $C$ et $D .$

$S=$ { $(-1;-3); (3;1)$ }