Exercices – Fonctions numériques
Exercice 1
Donner la forme canonique des fonctions polynômes f du second degré définies par :
1) f(x) = 2x^2 – 8x + 6
2) f(x) = -x^2 -\dfrac{2}{3}x -\dfrac{1}{9}
3) f(x) = \dfrac{5}{2}x^2 + 15x + 30
Exercice 2
Résoudre dans les équations suivantes :
1) -x^2 + 6x -10 = 0
2) x^2 + 4x – 21 = 0
3) 9x^2 + 6x + 1 = 0
Exercice 3
Factoriser les expressions suivantes :
1) x^2 + 4x -21
2) 8x^2 + 8x + 2
3) -3x^2 + 7x -8
Exercice 4
Étudier, suivant les valeurs de x, le signe de :
1) f_1(x) = 8x^2 + 8x + 2
2) f_2(x) = 2x^2 – 3x + 2
3) f_3(x) = -x^2 -3x + 10
Sans calculer f_3(-7), f_3(\dfrac{1}{2}), f_3(148), indiquer les signes de ces nombres.
Exercice 5
Résoudre dans \R les inéquations suivantes :
1) 2x^2 – 3x + 2 < 0
2) 8x^2 + 8x + 2 \leq 0
3) -x^2 -3x + 10 < 0
Exercice 6
Somme et produit des racines
1) Résoudre mentalement les équations suivantes :
a) 3x² + 7x – 10 = 0
b) 2x² + 9x + 7 = 0
2). Vérifier que 2 est racine de l’équation :
x² + 11x – 26 = 0.
Quelle est l’autre racine ?
3). Écrire une équation du second degré admettant les nombres 3 et -5 pour racines.
4). Existe-t-il deux nombres ayant pour somme 9 et pour produit -70 ? si oui, les calculer.
Exercice 7
f est la fonction définie sur \R par x ↦ 2x^2
a) Calculer les images par f des réels 0; \sqrt2; -4
b) Vérifier que \sqrt2 et -\sqrt2 ont pour image 4.
c) Pourquoi -4 n’est-il l’image d’aucun réels ?
d) Quels sont les réels qui ont \dfrac{5}{4} pour image par f ?
Exercice 8
f est la fonction définie sur \R par :
x ↦ x^2 + 3x + 1
a) Calculer les images par f des réels 0 ; 1 ; -\sqrt3 ; \dfrac{1}{2}
b) Trouver tous les réels qui ont pour image 1 par f
Exercice 9
a) Quel est l’ensemble de définition de la fonction x ↦ x ?
b) Quel est le réel pour lequel on ne peut pas calculer \dfrac{1}{x} ? Donner alors l’ensemble de définition de la fonction x ↦ \dfrac{1}{x}
c) Quels sont les réels pour lesquels on peut calculer \sqrt{x} ? Donnez alors l’ensemble d définition de la fonction x ↦ \sqrt{x}
d) Compléter les phrases :
« Pour calculer \dfrac{1}{\sqrt{x}} ; on commence par calculer \sqrt{x} ; il faut donc que x………
Puis on calcule son inverse \dfrac{1}{\sqrt{x}} ; il faut donc que \sqrt{x} ≠ 0, donc x……………… »
Donner l’ensemble de définition de la fonction x ↦ \dfrac{1}{\sqrt{x}}.
Exercice 10
Une agence propose deux types de contrat de location d’une voiture pour une journée :
- Premier type : 200 francs de forfait et 1 franc par kilomètre.
- Deuxième type : 100 francs de forfait et 1,50 franc par kilomètre.
Pour x kilomètres parcourus, le prix à payer est noté f_1(x) pour le premier type de contrat, et f_2(x) pour le second.
a) Donner les expressions de f_1(x) et f_2(x). Construire dans un même repère les représentions graphiques de ces fonctions pour x compris entre 0 et 500.
b) Indiquer, en utilisant le graphique, le type de contrat le plus avantageux suivant le nombre de kilomètres parcourus.
c) Retrouver et préciser ces résultats par calcul.
Exercice 11
On dispose d’un carré de métal de 20cm de côté. Pour fabriquer une boîte parallélépipédique, on enlève à chaque coin un carré de côté a et on relève les bords par pliage.
a) Exprimer le volume V = f(a) de cette boîte en fonction de a.
b) Les réels -1 et 2,3 sont-ils dans l’ensemble de définition de cette fonction f ?
Exercice 12
Ensemble de définition d’une fonction
Indiquer sur quelle(s) partie(s) de \R les fonctions suivantes sont définies :
1) f(x) = \dfrac{x^2 – 4}{2}
2) f(x) = \dfrac{2}{x^2 – 4}
3) f(x) = \dfrac{x^2 + x + 1}{x^2 – 14x + 49}
4) f(x) = \sqrt{\dfrac{x+1}{2-x}}
Exercice 13
Fonctions égales
Les fonctions f et g suivantes sont elles égales ?
1) f(x) = x^2 + 4x + 4~ et ~g(x) = (x+2)^2
2) f(x) = \dfrac{x^2 – x – 2}{3(x-2)}~ et ~g(x) = \dfrac{x+1}{3}
3) f(x) = \dfrac{x+1}{2x-5}~ et ~g(x) = \dfrac{1-x}{5-2x}
Exercice 14
Fonctions paires, impaires.
Etudier la parité des fonctions f suivantes :
1) D_f = \R~ et ~f(x) = 3x
2) D_f = \R~ et ~f(x) = \dfrac{x^2 – 2}{x^2 + 1}
3) D_f = \R~ et ~f(x) = x^2 – x
4) D_f = \R \{-1 ; 0 ; 1} et ~f(x) = \dfrac{-4}{x^3 – x}
5) D_f = ]-\infty ; -\sqrt5] \cup [\sqrt5 ; +\infty[~ et ~f(x) = \sqrt{x^2 – 5}
6) D_f = \R^*~ et ~f(x) = \dfrac{4|x|}{x}
Exercice 15
Représentation graphique d’une fonction
Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O; \overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j}), représenter graphiquement les fonctions f suivantes; indiquer pour chacune d’elles (par lecture graphique) l’ensemble des solutions de l’équation f(x) = 0 (S_1) et de l’inéquation f(x) > 0 (S_2) :
1) f(x) = 3x + 2
2) f(x) = 1-x
3) f(x) = x^2 – 1
4) f(x) = \dfrac{2}{2-x}
Exercice 16
Sens de variation d’une fonction
1) Soit f la fonction définie sur \R par :
f(x)= -x +2
Etudier les variations de f sur \R.
2) Soit f la fonction définie sur \R par :
f(x) = 3x^2
Montrer que f est décroissante sur ]-\infty ; 0] et que f est croissante sur [0 ; +\infty[
Exercice 17
Soit f la fonction définie sur \R par :
f : x \mapsto 3x – 2.
Etudier le sens de variations de la fonction f sur \R puis dresser le tableau de variations de cette fonction f.
Exercice 18
Est-ce qu’une fonction qui n’est pas croissante sur un intervalle I, est décroissante sur I ?
Exercice 19
Une fonction f, définie sur \R, admet le tableau de variations suivant :
1) Démontrer que, pour tout réel x, on a f(x) > 0
2) Résoudre l’inéquation f(x) \geq 1
Exercice 20
Soit f la fonction définie sur \R par :
f : x \mapsto 2|x|.
Étudier le sens de variation et dresser le tableau de variations de la fonction f.
Exercice 21
Dresser le tableau de variations de la fonction f (x)= \dfrac{-x}{2} définie sur \R.
Puis la représenter graphiquement.
Exercice 22
1) Montrer que pour tous réels a et b positifs,
-\sqrt{a} + \sqrt{b} = \dfrac{b-a}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}
2) Dresser le tableau de variations de la fonction f définie sur [0; +\infty [ par :
f : x \mapsto -\sqrt{x} et la représenter graphiquement.
Exercice 23
Résoudre graphiquement le système d’équations suivant :
\begin{cases} y=3x^2 \\ y=2-x \end{cases}
Exercice 24
Résoudre dans \R l’inéquation x^2 < 3.
a) par le calcul,
b) graphiquement.
Exercice 25
Etudier la parité de la fonction f définie sur [0; +\infty [ par :
f : x \mapsto \sqrt{2x}
Exercice 26
Soit f la fonction définie sur \R^* par f(x) = \dfrac{1}{x}.
1. Quels sont les réels x tels que f(x) > 10^6 ?
2. Quels sont les réels x tels que f(x) < 10^5 ?
3. Quels sont les réels x tels que 0 <f(x) < 10^{-4} ?
Exercice 27
Soit f la fonction définie sur \R^* par :
f(x) = -\dfrac{2}{x}
1. Etudier les variations de la fonction f sur ]0; +\infty[.
2. Etudier la parité de la fonction f et en déduire les variations de la fonction f sur ]-\infty ; 0[.
3. Dresser le tableau de variations de la fonction f et la représenter graphiquement.
Exercice 28
Résoudre graphiquement dans \R le système d’équations suivant :
\begin{cases} y = \dfrac{3}{x} \\ y = x-2 \end{cases}
