Corrigés – Systèmes linéaires

Exercice 1

1. a) Le déterminant vaut :
\begin{vmatrix}\dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{3}\\1 & -2\end{vmatrix} = … = -\dfrac{4}{3} \ne 0. Donc le système admet un unique couple solution.

b) Le déterminant vaut :
\begin{vmatrix}\dfrac{1}{3} & -2 \\-3 & 18\end{vmatrix} =…= 0. Donc aucun couple solution ou une infinité.

2nd déterminant :
\begin{vmatrix}-2 & 1 \\18 & 0\end{vmatrix} = -18 \ne 0 . Donc le système n’admet aucun couple solution.

c) Le déterminant associé vaut :
\begin{vmatrix}4 & -2\\-6 & 3\end{vmatrix} = …= 0. Le système n’admet aucun couple solution ou en admet une infinité.
2nd déterminant :
\begin{vmatrix}-2 & 6\\3 & -9\end{vmatrix} =…= 0. Le système admet une infinité de couples solution.

2. a)  \begin{cases} \dfrac{x}{2}+ \dfrac{y}{3}= 1 \\x-2y=-1 \end{cases}  . On peut isoler  x  dans la 2nde ligne et on trouve après calcul :
S={( \dfrac{5}{4}; \dfrac{9}{8})}, c’est l’unique couple solution.

b) \begin{cases} \dfrac{x}{3}- 2y=1 \\-3x+18y=0\end{cases}  . On sait que ce système n’admet aucun couple solution. On a donc :
S= \phi .

c)  \begin{cases} 4x-2y=6 \\-6x+3y=9\end{cases}. On sait que ce système admet une infinité de solution, les deux équations sont donc proportionnelles.
En isolant y dans l’une ou l’autre des lignes, on obtient : y = 2x – 3  ;
S={(x ; 2x-3) / x \in \R }

Exercice 2

On a le système suivant
\begin{cases} y+2>1 \\ y-2x> 1\end{cases}
On a donc
\begin{cases} y>1-x \\ y> 1+2x \end{cases}
On prend
\begin{cases} f(x)= 1-x ~~ (F) \\g(x) = 1+2x ~~ (G) \end{cases}
L’ensemble des points vérifiant le système d’inéquation se trouve au dessus de la courbe F et au dessus de la courbe G. (Zone sombre sur le graphique)

Exercice 3

On a le système suivant
a)\begin{cases} y\leq 3\\y\geq -1\\ y\leq 2x \\y\geq 2x-2\end{cases}  
 
On prend
f(x)=3 ~~ (F)\\ h(x)= -1 ~~ (H)\\ i(x)= 2x ~~ (I)\\ G(x)= 2x-2 ~~ (G)
L’ensemble des points vérifiant le système d’inéquations ce trouve au dessus de H et de G et en dessous de F et de I. (Zone sombre sur le graphique)

b) On a le système suivant
\begin{cases} y\leq 3\\y\geq -1\\ y\leq 2x \\y\geq -2x-2\end{cases}
On prend
f(x)=3 ~~ (F) \\ h(x) = -1   ~~  (H) \\ i(x) = -2x     ~~  ( I ) \\ g(x) = -2x-2  ~~  (G)
L’ensemble des points vérifiant le système d’inéquations ce trouve au dessus de H et de G et en dessous de F et de I. (Zone sombre sur le graphique)

Exercice 4

a) Soit y le prix payé par un adulte.
Soit x le prix payé par un enfant.
Lundi :
20y +10x=160 \\ y=[latex] \dfrac{-1}{2}x +8

Mardi :
30y + 60x=420 \\ y= -2x +14


L'intersection des deux droites a pour coordonnées (4;6)
b) y= \dfrac{-1}{2}x + 8 \\ \dfrac{-1}{2}\times 4 + 8 = y \\   y=6

y = -2x + 14 \\ y = -2 \times 4 + 14 \\ y= 6
Le couple (4;6) est bien solution de ce système.

c)Un adulte paie donc 6F et un enfant, 4F.

Exercice 5

60 000 F pour le premier placement et 40 000 F pour le second.

Exercice 6

{( \dfrac{2}{9} ; -\dfrac{1}{9} ) ; ( -\dfrac{1}{3} ; -\dfrac{1}{3} )}

Exercice 7

\begin{cases}3x + y -1 =0\\x - 2y +3 =0 \end{cases}
équivaut à
\begin{cases}3x + y =1\\x - 2y =-3 \end{cases}
Comme 3 × (-2) - 1 × 1 = -7 \ne 0, alors ce système admet un unique couple solution.
Résolution du système : multiplions la deuxième équation par -3 :
\begin{cases}3x + y =1\\-3x + 6y = 9 \end{cases}

\begin{cases}3x + y =1\\7y=10 \end{cases}
(On additionne la première et la deuxième équation)
\begin{cases}3x + y =1\\y=\dfrac{10}{7} \end{cases}
(On a déterminé la valeur de y, on remplace alors cette valeur dans la première équation)
\begin{cases}3x +\dfrac{10}{7}=1\\y=\dfrac{10}{7} \end{cases}

\begin{cases}x=-\frac{1}{7} \\y=\frac{10}{7} \end{cases}
D'où : s = {(\frac{-1}{7} ; \frac{10}{7} )}

L'équation 3x + y = 1 est équivalent à  y=-3x + 1 ~~ [1]
De même, l'équation x - 2y = -3 est équivalente à y = \dfrac{1}{2} x+\dfrac{3}{2}   ~~   [2]
Les droites dont les équations réduites sont respectivement [1] et [2] sont sécantes. Le système a donc une unique solution : les coordonnées du point d'intersection de ces deux droites.
\begin{cases}12x + 5y -26=0\\ 8x -7y - 38 =0 \end{cases}
équivaut à
\begin{cases}12x + 5y=26 \\ 8x - 7y=38 \end{cases}
Comme 12 × (-7) - 5 × 8 = -124 \ne 0, alors ce système admet un unique couple solution.
Résolution du système : multiplions la première équation par 2 et la deuxième équation par -3 :
\begin{cases}24x + 10y = 52 \\ -24x + 21y = -114\end{cases}

\begin{cases}24x + 10y = 52 \\ 31y = -62 \end{cases}

\begin{cases}12x + 5y = 26\\ y =-\dfrac{62}{31} = -2\end{cases}
Remplaçons y par -2 dans la première équation :
\begin{cases}12x = 36 \\ y= - \frac{62}{31} =-2\end{cases}
D'où : S={(3; -2)}

L'équation 12x + 5y = 26 est équivalent à y =  -\dfrac{12}{5}x + \dfrac{26}{5} ~~ [1]
De même, l'équation 8x - 7y = 38 est équivalente à y = \dfrac{8}{7}x - \dfrac{38}{7}  ~~ [2]
Les droites dont les équations réduites sont respectivement [1] et [2] sont sécantes. Le système a donc une unique solution : les coordonnées du point d'intersection de ces deux droites.
\begin{cases}3x + y - 7=0 \\6x + 2y - 9=0\end{cases}
équivaut à
\begin{cases}3x + y =7 \\6x + 2y= 9\end{cases}
Comme 3 \times 2 - 1 × 6 = 0, alors ce système n'admet soit aucune solution, soit une infinité de solutions.
L'équation 3x + y = 7 est équivalente à y = -3x + 7 ~~ [1]
De même, l'équation 6x + 2y = 9 est équivalente à y =-3x + \dfrac{9}{2} ~~ [2]
Les droites dont les équations réduites sont respectivement [1] et [2] sont strictement parallèles (les équations ont même coefficient directeur et des ordonnées à l'origine différentes).
Nous pouvons donc en conclure que ce système n'admet aucune solution.
D'où : S= \varnothing 

\begin{cases}4x +5y - 9=0 \\8x + 10y - 18=0\end{cases}
équivaut à
\begin{cases}4x + 5y=9 \\8x + 10y = 18\end{cases}
Comme 4 \times 10 - 5 × 8 = 0, alors le système admet soit aucune solution, soit une infinité de solutions.
L'équation 4x + 5y = 9 est équivalent à y = -\dfrac{4}{5} x + \dfrac{9}{5}
De même, l'équation 8x + 10y = 18 est équivalente à y = -\dfrac{4}{5}x + \dfrac{9}{5}
Les droites dont les équations réduites sont respectivement [1] et [2] sont confondues.
Nous pouvons donc en conclure que le système admet une infinité de solutions : les coordonnées des points de la droite d'équation
y= -\dfrac{4}{5}x + \dfrac{9}{5}

Exercice 8

On considère le système suivant :
\begin{cases}\dfrac{12}{x+2} - \dfrac{18}{y+1}= -10 \\ \dfrac{3}{x+2} + \dfrac{4}{y+1} = 5\end{cases}
On effectue un changement de variable en posant :
x=\dfrac{1}{x+2} et y=\dfrac{1}{y+1}
Le système devient alors :
\begin{cases}12x - 18y = -10 \\3x+4y = 5\end{cases}
Comme 12 × 4 - 3 × (-18) = 102 \ne 0, alors ce système admet une unique solution.

Résolution du système :
\begin{cases}12x - 18y = -10 \\3x + 4y = 5\end{cases}
équivaut à
\begin{cases}6x - 9y = -5 \\3x + 4y = 5\end{cases}(on divise par 2 la première équation)

\begin{cases}6x - 9y = -5 \\-6x - 8y = -10\end{cases}
(on multiplie par -2 la deuxième équation)
\begin{cases}6x -9y = -5 \\-17y = -15\end{cases}

\begin{cases}6x-9y=-5 \\y=\dfrac{15}{17}\end{cases}

\begin{cases}x=\dfrac{25}{51} \\y=\dfrac{15}{17}\end{cases}
Or n'oublions pas que nous avons établi un changement de variable en posant.
x=\dfrac{1}{x+2} et y=\dfrac{1}{y+1}
Donc :
\frac{25}{51}=\frac{1}{x+2} \\ 25(x+2) = 51 \\ 25x + 50 = 51 \\ 25x = 1 \\ x= \dfrac{1}{25}
Et :
\dfrac{15}{17}=\dfrac{1}{y+1} \\ 15 (y + 1)=17 \\ 15y + 15=17 \\ 15y=2 \\ y=\dfrac{2}{15}
D'où :
S={(\dfrac{2}{25};\dfrac{2}{15})}

Exercice 9

1) 2(x-3) - \dfrac{3}{2}x + 7 -4(\dfrac{1}{8}x + \dfrac{1}{4})=0

2x - 6 - \dfrac{3}{2}x + 7 - \dfrac{1}{2}x -1 =0

6=6
Cette relation est toujours vraie, et ne dépend pas de la variable x.
S=\R

2) \dfrac{3}{4} (2-x) -\dfrac{1}{2} (6x +1) +2 + \dfrac{15}{4}x=0

\dfrac{6}{4} -d\dfrac{3}{4} x +2 + d\dfrac{15}{4}x=0

3 \ne 0
Encore une fois, l'équation ne dépend pas de la variable x, or le résultat est incohérent, on en conclut que :
S=\varnothing

3) \dfrac{3x +1}{x-2}=4 \\ 3x + 1=4(x-2) \\ 3x+ 1 =4x -8 \\ x=9

Exercice 10

Soit n le premier naturel impair.
Donc n=2p+1
On cherche à résoudre :
2p + 1 + 2p + 3 + 2p + 5 = 99 \\ p = 15
Donc les trois impairs consécutifs 31,~33,~35 ont leur somme égal à 99.

Exercice 11

1) |x-3| =4 \\ x-3=4 ~~~~~~~~ x-3=-4
On a soit : x=7 ~~ soit : x=-1
Donc :
S= -1;7

2) |x-2|<3 \\ -3< x-2<3 \\ -3+2<x-2+2<3+2 \\ -1<x<5 \\ S=]-1;5[

Exercice 12

x^2 \leq 5 \\ -\sqrt{5} \leq x \leq \sqrt{5}

Exercice 13

On nomme x et y les deux réels, ils doivent vérifier le système qui suit :
\begin{cases}x + y = 25 \\x + y= \dfrac{5}{2}\end{cases}
En résolvant le système d'équations par substitution, on obtient :
\begin{cases}x = \dfrac{55}{4} \\ \\y= \dfrac{45}{4}\end{cases}

Exercice 14

Pour cet exercice, il faut utiliser la formule :
V = \dfrac{d}{t} , avec V la vitesse la distance et t le temps.
On adopte également la nomenclature proposée en indication, c'est à dire que t est en réalité le point de départ. On a deux situations décrites, on les interprète mathématiquement :
60=\dfrac{d}{13-t} \\ 60(13-t) = d

80 = \dfrac{d}{11-t} \\ 80(11-t) = d

780 - 60t = d ainsi que : 880 - 80t = d
Pour déterminer d et t, on doit résoudre le système suivant :
\begin{cases}880 - 80t=d \\780 - 60t=d \end{cases}
Après avoir utilisé la méthode de substitution (cas trivial ici), on trouve :
\begin{cases} t = 5h \\ d = 480km \end{cases}
Conclusion : J'ai parcouru 480 km, en partant à 5 h du matin.

Exercice 15

Le malade est remboursé à 70%, il aura donc a payer uniquement 30% des soins qui lui sont prescrits. Ici les soins s'élèvent à 40 euros, il devra donc payer :
\dfrac{30}{100} x 40=12 euros

Exercice 16

1) Le projectile retombera au sol, au moment où h(t) = 0, en d'autres termes, on doit résoudre :
100t -5t^2 =0 \\ 5t^2 = 100t \\ t^2 =20t \\ t=0
==> le projectile retombera à l'instant t=20 secondes.

2) Pour étudier la variation d'une fonction f , on étudie le signe de f(a)-f(b) :
On considère premièrement a=0 et b=10 :
f(a)-f(b) \\ f(0)-f(10) = 0-500 = -500 < 0
On en déduit que f est croissante sur [0;10], à valeur sur [10;20], en effet :
f(10)-f(20) = 500-0 \\ = 500 > 0
f est décroissante sur [10;20].

3) Le sens de variation nous révèle que f est majorée en x=10 , c'est à dire que c'est le point le plus haut de la courbe , par conséquent à l'instant t=10, la hauteur maximale sera de 500 m.

Exercice 17

1) On ne peut pas affirmer que le nombre de garçon sera plus conséquent, dans la mesure où le pourcentage ne nous révèle pas la quantité dont il traite. Les 40% de garçons d'un des lycées qui peut-être bien plus grand que l'autre, ne permet pas de conclure, il faudrait avoir le nombre d'élèves que cela engage.
2) En revanche ici, si les deux pourcentages indiquent une majorité de garçons, alors on peut en conclure qu'il y a plus de garçons de la ville qui font au lycée que de filles.

Exercice 18

1) \begin{cases} 4x +4y= 4 \\2x + y=\dfrac{\pi}{2}\end{cases}

= \begin{cases} x + y =1 \\2x + y=\dfrac{\pi}{2}\end{cases}

= \begin{cases} x + y = 1 \\ \\ x=\dfrac{\pi}{2} - 1 = \dfrac{\pi - 2}{2}\end{cases}

= \begin{cases} y=1-x =\dfrac{4 - x}{2} \\ \\ x=\dfrac{\pi - 2}{2}\end{cases};

S={ ( \dfrac {\pi - 2} {2} ; \dfrac{4 - \pi} {2}) }

2) En considérant que chacun des quatre “pétales” sombre a une aire de mesure x et que chaque partie disjointe non coloriée a une aire de mesure y, on peut écrire les deux informations suivantes :
- le carré constitué de quatre “pétales” et de quatre “zones” blanches a une aire égale à 4 :
soit   4x + 4y =4 ;
- le demi disque de diamètre [CD], constitué de deux “pétales” et d’une “zone” blanche a une aire égale à  \dfrac{\pi}{2}  puisque son rayon vaut 1 :
Soit 2x + y = \dfrac{\pi}{2}

3) Ainsi x= \dfrac{\pi - 2}{2} est bien l’aire d’un pétale sur cette figure et la surface sombre  a une aire de .
4x = 2x - 4