Exercices – Système linéaires
Exercice 1
1) Sans les résoudre, donner le nombre de solutions des systèmes suivants :
a) \begin{cases} \dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3}=1\\x-2 y=-1 \end{cases} ;
b) \begin{cases} \dfrac{x}{3} – 2y=1\\-3x+18y=0\end{cases} ;
c) \begin{cases} 4x-2y=6\\-6x+3y=-9\end{cases}
2) Résoudre ensuite chacun des systèmes par la méthode de votre choix.
Exercice 2
Voici un système d’inéquations:
\begin{cases} y+x>1 \\y-2x>1\end{cases}
Le résoudre graphiquement
Exercice 3
Résoudre graphiquement les systèmes suivants:
a) \begin{cases} y\leq 3\\y\geq -1\\ y\leq 2x \\y\geq 2x-2\end{cases}
b) \begin{cases} y\leq 3\\y\geq -1\\ y\leq 2x \\y\geq -2x-2\end{cases}
Exercice 4
Au cirque de Pythaville, un adulte paie x euros et un enfant y euros.
Lundi dernier, pour 20 adultes et 10 enfants, la recette était de 160 euros et le lendemain, pour 30 adultes et 60 enfants, la recette était de 420 francs.
Mais combien paie donc un adulte? Et un enfant?
a) Résoudre ce système graphiquement.
b) Vérifier que le couple (x; y) trouvé est bien solution des équations précédentes.
c) Conclure.
Exercice 5
Un homme veut investir 100 000 F. il décide de diviser cette somme en deux parties, et d’en placer une à 10 %, l’autre à 7 % (annuels).
Le premier placement étant plus risqué, il ne veut pas y déposer plus de 60 000 F. pour des raisons fiscales, il voudrait en outre investir un minimum de 20 000 F dans le second placement, et investir au moins autant dans le premier placement que dans le second.
Quelle répartition de ses fonds lui permettra-t-elle de réaliser les intérêts annuels les plus élevés ?
Exercice 6
Résoudre le système :
\begin{cases} (x+2y)(x-y)=0\\2x-5y=1\end{cases}
Exercice 7
Résoudre les systèmes suivants :
\begin{cases} 3x+y-1=0\\x-2y+3=0\end{cases}
\begin{cases} 4x+5y-9=0\\8x+10y-18=0\end{cases}
Interpréter graphiquement ces systèmes et leurs solutions.
Exercice 8
Résoudre le système suivant :
\begin{cases} \dfrac{12}{x+2} – \dfrac{18}{y+1} = -10 \\ \dfrac{3}{x+2} + \dfrac{4}{y+1} = 5\end{cases}
Exercice 9
Résoudre les équations:
1) 2(x-3) – \dfrac{3}{2}x+7-4(\dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{4} = 0
2) \dfrac{3}{4} (2-x) – \dfrac{1}{2} (6x+1) + 2 +\dfrac{15}{4} x =0
3) \dfrac{3x +1}{x-2} = 4
Exercice 10
Est-il possible de trouver trois naturels impairs consécutifs dont la somme soit 99 ?
Exercice 11
Résoudre l’équation et l’inéquation :
|x – 3| = 4 \\
|x + 2| < 3
Exercice 12
Résoudre l’inéquation x^2 \leq 5
Exercice 13
Deux réels ont pour somme 25 et pour différence \dfrac{5}{2} . Quels sont ces deux réels ?
Exercice 14
En automobile, si je roule à 60 km/h, j’arrive à 13h ; mais si je roule à 80 km/h, j’arrive à 11h.
Quelle distance ai-je à parcourir et à quelle heure suis-je parti ?
Indication : noter d la distance à parcourir et t l’heure de départ.
Exercice 15
Un malade est remboursé à 70% par la Sécurité Sociale. S’il a payé 40 €, combien reste-t-il à sa charge ?
Exercice 16
Un projectile est lancé à partir du sol à un instant pris comme origine. On note h(t) sa hauteur (en mètres) à l’instant t (en secondes).
Les physiciens estiment que l’on a, a tout instant t :
h(t) = -5t^2 + 100t .
1) À quel instant le projectile retombera-t-il au sol ?
2) Démontrer que la fonction h est strictement croissante sur [0 ; 10] et strictement décroissante sur [10 ; 20].
3) Quelle hauteur maximale a atteint le projectile ?
Exercice 17
Dans une ville, il n’y a que deux lycées.
1) Dans l’un, il y a 80% de garçons et dans l’autre 40%.
Peut-on affirmer que le nombre de garçons de cette ville, allant au lycée, est supérieur au nombre de filles ?
2) Dans chacun des lycées de cette ville, le pourcentage des garçons est supérieur à celui des filles.
Peut-on affirmer que le nombre de garçons de cette ville, allant au lycée, est supérieur au nombre de filles ?
Exercice 18
Soit le carré ABCD de côté 2 à l’intérieur duquel on a tracé les demi-cercles de diamètres respectifs [AB], [BC], [CD] et [DA].
1) Résoudre le système suivant: \begin{cases} 4x+ 4y= 4 \\2x+y=\dfrac{\Pi}{2} \end{cases}
2) Exprimer le système précédent comme le calcul des aires de deux surfaces clairement exprimées de la figure.
3) En déduire l’aire exacte de la surface sombre.
