Corrigés – Statistiques
Exercice 1
a) On range les valeurs dans l’ordre croissant : 6 ; 7,5 ; 8 ; 9,5 ; 11 ; 12 ; 14 ; 16 ; 18
Comme il y a 9 valeurs, la médiane est associée au 5ème élément qui partage la série en deux séries de 4 valeurs, soit la valeur 11.
Conclusion : La médiane de cette série est 11
b) on range les valeurs dans l’ordre croissant : 6,5 ; 9 ; 9,5 ; 11 ; 11 ; 11,5 ; 12 ; 14
Comme il y a 8 valeurs, la médiane est comprise entre la 4ème et 5ème valeur, qui partage la série en deux séries de 4 valeurs, soit la valeur 11.
Conclusion : La médiane de cette série est 11
c) On range les valeurs dans l’ordre croissant : 48,5 ; 49,2 ; 49,7 ; 50,1 ; 51,2 ; 53,8 ; 54,4
Comme il y a 7 valeurs, la médiane est associée au 4ème élément qui partage la série en deux séries de 3 valeurs, soit la valeur 50,1.
Conclusion : La médiane de cette série est 50,1
d) On range les valeurs dans l’ordre croissant : 4,5 ; 5,1 ; 5,1 ; 7 ; 7 ; 9,6 ; 13,2 ; 16,6 ; 19,1
Comme il y a 9 valeurs, la médiane est associée au 5ème élément qui partage la série en deux séries de 4 valeurs, soit la valeur 7.
Conclusion : La médiane de cette série est 7
Exercice 2
1) On range les valeurs dans l’ordre croissant :
13,5 ; 13,8 ; 13,8 ; 13,9 ; 14 ; 14,1 ; 14,2 ; 14,2 ; 14,3 ; 15,2
Comme il y a 10 valeurs, la médiane est comprise entre la 5ème et 6ème valeur qui partage la série en deux séries de 5 valeurs,
soit la valeur \dfrac {14+14,1}{2} = 14,05
Conclusion : La médiane de cette série est 14,05 Soit m la moyenne, on a :
m=\dfrac {13,5+13,8\times 2+13,9+14+14,1+14,2 \times 2+14,3+15,5}{10} =14,1
La moyenne moyenne est donc de 14,1
3) Calcul de l’étendu
La plus petite valeur est 13,5
La plus grande valeur est 15,2
On a : 15,2 – 13,5 = 1,7
Conclusion : l’étendu est 1,7
Exercice 3
1) Au cours de l’année, chaque candidat a obtenu dix notes en Mathématiques.
| Notes xi | 5 | 8 | 9 | 10 | 13 | 14 | 15 | 16 | 19 |
| Effectif Kakou | 1 | 4 | 4 | 1 | |||||
| Effectif Annah | 1 | 3 | 4 | 1 | 1 |
1) Calcul des moyennes
Désignons par \overline{X}_k la moyenne des notes de Kakou
| Notes xi | 5 | 8 | 16 | 19 |
| ni(effectif Kakou) | 1 | 4 | 4 | 1 |
\overline{X}_k=\dfrac {1\times 5+4\times 8+4\times16+1\times19}{10} = 12
D’où \overline{X}_K = 12
Désignons par \overline{X}_A la moyenne des notes de Annah
| Notes xi | 9 | 10 | 13 | 14 | 15 |
| ni(effectif Annah) | 1 | 3 | 4 | 1 | 1 |
\overline{X}_A=\dfrac {1\times 9+3\times 10+4\times13+1\times14+1\times15}{10} =12
D’où \overline{X}_A = 12
Calcul des écarts types
Désignons par \delta_k l’écart-type des notes de Kakou
| xi | ni | xi–\overline{x}_k | (xi-xK)2 | ni(xi-xK)2 | nixi2 |
| 5 | 1 | -7 | 49 | 49 | 25 |
| 8 | 4 | -4 | 16 | 64 | 256 |
| 16 | 4 | 4 | 16 | 64 | 1024 |
| 19 | 1 | 7 | 49 | 49 | 361 |
\delta_K= \sqrt{\dfrac{\Sigma n_i(x_i-x_K)^2}{n}}= \sqrt{\dfrac{49+64+64+49}{10}}=4,75
Désignons par \delta_Al’écart-type des notes de Annah
| xi | ni | xi–\overline{x}_k | (xi-xK)2 | ni(xi-xK)2 | nixi2 |
| 9 | 1 | -3 | 9 | 9 | 81 |
| 10 | 3 | -2 | 4 | 12 | 300 |
| 13 | 4 | 1 | 1 | 4 | 676 |
| 14 | 1 | 2 | 4 | 4 | 196 |
| 15 | 1 | 3 | 9 | 9 | 225 |
\delta_K= \sqrt{\dfrac{\Sigma n_i(x_i-x_A)^2}{n}}=\sqrt{\dfrac{9+12+4+4+9}{10}}=1,95
3) \overline{X}_A=\overline{X}_k donc Annah et Kakou ont la même performance en Mathématiques ;mais comme \delta_A<\delta_k Annah est plus régulière que Kakou, elle est donc l’élément sûr qu’il faut choisir.
Exercice 4
1) La moyenne est donnée par : Somme des (effectif × modalité) / somme des effectifs
m = \dfrac{170 + 310 + 285 + 172 + 135 + 120 +70}{290 + 170 + 155 + 95 + 43 + 27 + 20 + 10} \\
m = 1,56
Le nombre moyen d’enfants m par foyer est d’environ 1,56.
2) l’écart-type (noté σ) est donné par σ = \sqrt{variance}
σ = \sqrt{\dfrac{(-1,56)^2+2\times0,44^2+3\times1,44^2+4\times2,44^2+5\times3,44^2+6\times 4,44^2 + 7\times 5,44^2}{1,56}}
σ = \approx 0,72
Exercice 5
1) La fréquence est donnée par : Effectif / Effectif total × 100
L’effectif total est :
28 + 34 + 90 + 110 + 84 + 32 + 22 = 400
Fréquence1 = 28/400 × 100 = 7%
Fréquence2 = 34/400 × 100 = 8,5%
Fréquence3 = 90/400 × 100 = 22,5%
Fréquence4 = 110/400 × 100 = 27,5%
Fréquence5 = 84/400 × 100 = 21%
Fréquence6 = 32/400 × 100 = 8%
Fréquence7 = 22/400 × 100 = 5,5%
2)
3) σ \approx 33,78
Exercice 6
Dans un kilo du mélange on trouve :
– 450g d’arabica
– 550g de robusta
– 450 g d’arabica coûtent : 0,450 × 2 = 0,90 €
– 550g de robusta coûtent : 0,550 × 1,80 = 0,99 €
Le kilogramme de mélange arabica-robusta coûte donc 1,89 €
Exercice 7
a) m = \dfrac {150\times 127 + 400\times 82 + 750 \times 90 + 1050 \times 48 + 1350 \times 33 + 1650 \times (20/400)}{127 + 82 + 90 + 48 + 33 + (20/400) }
m = \approx 564
b) écart-moyen = \dfrac{somme(effectifs)}{effectif total}
écart-moyen = \dfrac{127+82+90+48+33+\dfrac{20}{400}}{6}
écart-moyen = 63,34
c) \sigma \approx 393,57
d) Polygone :
