Sujet N°1

Exercice 1

1) Soit a un nombre différent de 0 et de −1. On pose A=\dfrac{1}{a+1} –\dfrac{1-\dfrac{1}{a}}{1+\dfrac{1}{a}} . Ecrivez A sous forme de quotient.
2) Ecrire les nombres suivants sous forme de fraction irréductible :

a=\dfrac{5+\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{3}}{5-\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{3}}

b=\dfrac{\dfrac{150}{71}}{\dfrac{9}{29}} x \dfrac{\dfrac{13}{58}}{\dfrac{38}{71}}

c=\dfrac{14^2 \times 121^2}{55^3 \times 49}

d=\dfrac{5}{3} – \dfrac{4}{5} + \dfrac{2}{7} x \dfrac{21}{3}

e=\dfrac{\dfrac{71}{150}}{\dfrac{29}{9}} x \dfrac{\dfrac{58}{19}}{\dfrac{71}{38}}

f=\dfrac{3-\dfrac{5}{7}+\dfrac{1}{2}}{3+\dfrac{5}{7}-\dfrac{1}{2}} g=\dfrac{3}{7}\times\dfrac{14}{2}\times\dfrac{(-11)}{8}\times 5 \times \dfrac{44}{55}\times\dfrac{2}{3}

3) Simplifiez les expressions suivantes :

a=\dfrac{4}{3} + \dfrac{5}{4}; b=\dfrac{7}{8}\times\dfrac{6}{13}; c= 2 \times (3+\dfrac{1}{4}); d=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{5}{6} \times 9; e=\dfrac{\dfrac{6}{35}}{3}; f=\dfrac{6}{\dfrac{35}{3}}

a=\dfrac{9}{10}-\dfrac{1}{100}; b=\dfrac{7}{4}:\dfrac{35}{26}; c=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6}}; d=\dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{12}; e=\dfrac{\dfrac{6}{35}}{\dfrac{3}{5}}

Exercice 2

1) Choisir deux nombres strictement positifs et vérifier que le quotient de leur produit par leur somme est inférieur au quart de cette somme.

2) Ce qui a été constaté sur un exemple est toujours vrai.
En effet : démontrer que si  a > 0 et si  b > 0 alors on a
\dfrac{ab}{a+b} \leq\dfrac{a+b}{4}. Dans quel cas a-t-on l’égalité ?

3) En déduire que si  a>0, b>0 et c>0 alors
\dfrac{ab}{a+b}+\dfrac{bc}{b+c}+\dfrac{ca}{c+a}+\leq\dfrac{a+b+c}{2}.

Exercice 3

L’année lumière (a.l.) est la distance parcourue par la lumière pendant une année. La vitesse de la lumière est environ c=300 000km/s.
1) Mettre c en écriture scientifique.
2) Donner une valeur approchée d’une a.l. sous la forme n.10^pkm où n et p sont des nombres entiers, n compris entre 0 et 9.
3) On considère que une a.l. correspond environ à 10^{13}km. La distance Terre-Soleil étant d’environ 15 millions de km combien de temps la lumière met-elle pour nous parvenir du Soleil ?
4) Une Unité Astronomique (U.A.) est une unité de mesure égale à la distance Terre-Soleil. Combien y-a-t’il d’U.A. dans une a.l. (environ) ?