Sujet N°10

Exercice 1 :

Propriété du centre de gravité d’un triangle

ABC est un triangle ; A’ est le milieu de [BC].
On se propose de démontrer la propriété :
« Dire que G est le centre de gravité de ABC équivaut à dire que G est le point tel que
\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} =\overrightarrow{0} . »

1)  Quelle égalité vectorielle entre \overrightarrow{GA} et \overrightarrow{GA}’ caractérise le centre de gravité ?

2. a) Prouver que : \overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} = 2\overrightarrow{GA}‘.
b) En déduire que : « \overrightarrow{GA} = -2\overrightarrow{GA}‘  équivaut à :
\overrightarrow{GA}+ \overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0} ». Conclure.

Exercice 2

ABC est un triangle tel que le point A’ est le milieu de [BC], B’ celui de [CA] et C’ celui de [AB].
1.  a) Justifier que \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AA}’.
b) De même, exprimer \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC} et \overrightarrow{CA}+ \overrightarrow{CB} en fonction d’un seul vecteur.
2.  En déduire que :
\overrightarrow{AA}’ + \overrightarrow{BB}’ + \overrightarrow{CC}’=\overrightarrow{0} .

Exercice 3

Lire les coordonnées des points A, B, C, D et celles des vecteurs \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w},\overrightarrow{z}.

Exercice 4

Dans un repère (O ;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})
1)  Placer les points A(4 ;2), B(-2 ; 1), C(-3 ; 5).
2)  Représenter le vecteur \overrightarrow{AM}= 2\overrightarrow{AB} – \overrightarrow{AC}.
3)  Calculer les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} et \overrightarrow{AM} ; déterminer alors les coordonnées du point M.