Sujet N°12

Exercice 1 :

O et A sont deux points distincts :
1)  Placer les points M, N, P tels que :
a) \overrightarrow{OM}= 2\overrightarrow{OA}    
b) \overrightarrow{ON}=-3,5\overrightarrow{OA}   
c) \overrightarrow{OP}= -7\overrightarrow{OA}

2.a) Exprimer le vecteur \overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON} en fonction de \overrightarrow{OA}.
b) Exprimer le vecteur \overrightarrow{OP} en fonction de \overrightarrow{ON}.

Exercice 2

ABCD est un trapèze rectangle de base AD = 6 cm, CB = 2 cm, de hauteur AB = 4 cm. H est le projeté orthogonal de C sur [AD]. Un point M décrit le segment [AB] et on pose AM = x.
La parallèle à (AD) passant par M coupe [CD] en N et la parallèle à (AB) passant par N coupe [AD] en P.
1.  a) Démontrer que le triangle CHD est un triangle rectangle isocèle.
b) Démontrer que AMNP est un rectangle et NPD un triangle rectangle isocèle.

2)  On appelle f(x) l’aire du rectangle AMNP lorsque x décrit l’intervalle [0 ; 4].
a) Montrer que f(x) = x(6 – x) et vérifier que  f(x) = 9 – (x– 3)².
b) Compléter le tableau suivant :

3)  Le graphique ci-dessous est la courbe représentative  
de la fonction f : x \mapstoa f(x) sur l’intervalle [0 ; 4].

Par lecture graphique, répondre aux questions 
suivantes :
a) Lorsque AM =\dfrac{1}{4} AD, quelle est l’aire de AMNP ?
b) Pour quelle position de M l’aire du rectangle
        AMNP semble-t-elle maximale ?
c) Sur quel segment faut-il choisir le point M pour que l’aire du rectangle
        soit supérieure ou égale à 8 cm² ?
d) Vérifier qu’il existe deux points M pour lesquels l’aire du rectangle est
        égale à \dfrac{17}{2} cm².

4)  Répondre aux questions suivantes en choisissant pour f(x) l’expression la
     mieux adaptée.
a) Démontrer que f(x) \leq 9.
Peut-on affirmer cette fois que l’aire du rectangle est maximale lorsque
x = 3 ? Quelle est la nature de AMNP lorsque x = 3 ?
b) Démontrer que l’aire du rectangle AMNP est égale à \dfrac{17}{2} cm² lorsque
x =\dfrac{6-\sqrt{2}}{2}   ou \dfrac{6+\sqrt{2}}{2}.

Exercice 3

Dans le repère orthonormé (O, \overrightarrow{i}: \overrightarrow{j})  on donne les points A(2 ; −4) et B(4 ; 2)
a) Tracez la droite (AB) et expliquez comment obtenir une équation de cette droite par simple lecture graphique.
b) Déterminez par le calcul une équation de la droite (AB).
c) Déterminez une équation de la droite (D) parallèle à (AB) et passant par le point C(0 ; 3).
d) Déterminez une équation de la médiane issue de A dans le triangle ABC.