Sujet N°2
Exercice 1
1. Si les deux inégalités a’<a et b’<b sont vraies, démontrer avec soin que l’on a alors :
a’ + b’ < a + b
2. Énoncer la propriété ainsi démontrée.
3. On suppose que a < b où a et b sont deux nombres négatifs.
En justifiant chaque étape, montrer que :
-6a^2 + 1 \leq -6b^2 +1.
Exercice 2
En moins d’une minute donner une fraction égale à la somme
S=\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{20} + \dfrac{1}{30} + \dfrac{1}{42} + \dfrac{1}{56} + \dfrac{1}{72} + \dfrac{1}{90}
Indication : Calculer d’abord \dfrac{1}{2} – \dfrac{1}{3} puis \dfrac{1}{3} – \dfrac{1}{4} et \dfrac{1}{4} – \dfrac{1}{5}. Enfin, calculer S.
Exercice 3
A, B, C, D sont quatre points. Démontrer que :
1. \overrightarrow{AB}–\overrightarrow{CD} – ( \overrightarrow{AB}– \overrightarrow{BA}) = \overrightarrow{DA}
2. \overrightarrow{AD} +\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} +\overrightarrow{BD} .
Exercice 4
On définit trois droites de la manière suivante :
* (D1) passe par A(−4 ; −1) et a pour coefficient directeur \dfrac{3}{4};
* (D2) passe par B(0 ; 2) et C(3 ; 0) ;
* (D3) est parallèle à l’axe (Oy) et passe par C.
1) Représenter ces trois droites.
2) Ecrire une équation de chacune de ces droites.
3) Déterminer leur(s) point(s) d’intersection deux à deux. Sont-elles concourantes ?
Exercice 5
Soit un repère orthonormé (O;\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}) dans lequel on place le carré OCBA où A a pour coordonnées (0 ; 4), B(4 ; 4) et C(4 ; 0).
1) E le milieu de [BC] et F le point tel que \overline{CF}=\dfrac{3}{2} \overline{CF}; montrer que les coordonnées de E sont (4 ; 2) et celles de F(-2;0).
2) Calculer les longueurs AE, AF et FE ; montrer que le triangle AFE est rectangle isocèle.
3) Soit (d) la droite passant par O et parallèle à (AE) et (d’) la droite (BF). Déterminer une équation de (d) et une équation de (d’) ; calculer les coordonnées de leur point d’intersection I. Tracer (d) et (d’) et contrôler graphiquement votre résultat.
4) On admet que I a pour coordonnées (-\dfrac{8}{7};\dfrac{4}{7}). Soit G le point d’ordonnée négative tel que le triangle OFG soit rectangle isocèle de sommet F. Placer G sur la figure ; déterminer les coordonnées de G et prouver que les points A, I et G sont alignés.
