Sujet N°5

Exercice 1. (5 pts)

a) Vérifier que –1 est racine de –3x^3 + 10x^2 – x – 14
En déduire par division euclidienne sa factorisation.
Résoudre alors  \dfrac{-3x^3 + 10x^2 – x – 14}{4x^2 – 5x + 1} ≤  0

b) Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes :
f_1(x) =\dfrac{x}{|x-1|}

f_2(x) =  | x |  – 4x

f_3(x) =\dfrac{4x}{(2x-1)^2 -9}

f_4(x) =\sqrt{4-x^2}

f_5(x) =\dfrac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{3-x}}

f_6(x) =\sqrt{\dfrac{x+2}{3-x}}

Exercice 2.  (7 pts)

a) Soit f(x) = -2x^2 + 3x – 1
Montrer que f est croissante sur ]-\infty  ; \dfrac{3}{4} ] et décroissante sur  [ \dfrac{3}{4}  ; + \infty[
b) Soit g(x) = x^2 – 5x + 4
i) Donner le domaine de définition de g
ii) Calculer son taux d’accroissement r et étudier la variation de g.
Dresser son tableau de variation.
iii) Déterminer les points d’intersection de la courbe (C_f) avec les axes de coordonnées.
iv) Calculer f(-2)   ~~  f(-1)   ~~   f(1)   ~~  f(2)   ~~  f(3).
Que se passe-t-il d’après vous lorsque x →  –\infty  ou
n → +\infty
v) Tracez la courbe (C_f) en positionnant bien le repère.

Exercice 3 (8 pts)

Soit la fonction homographique h(x) =\dfrac{2-x}{2-x}
a) Donner le domaine de définition de h
b) Montrer que h est décroissante sur ]- \infty ; -2] et sur [-2 , + \infty [ et dresser son tableau de variation.
c) Déterminer les points d’intersection de la courbe C_h avec (OX) et (OY)
d) Calculer h(-5)  ~~   h(-4)  ~~  h(-3)  ~~  h(-1) ~~  h(1)   ~~ h(3)
Que se passe-t-il d’après vous lorsque x →  -2 par valeurs inférieures et par valeurs supérieures.
Ecrire h(x) sous la forme h(x) = a + \dfrac{b}{2+x} et déduire une asymptote horizontale.
e) En prenant en compte toutes les informations recueillies, tracer la courbe C_h.