Sujet N°6

Exercice 1. (7 pts)

1) Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes :
(Ecrire sous forme d’intervalle ou de réunion d’intervalles).
a) f(x) = 2x² – 3x + 4 ;     

b) g(x) =\dfrac{x^2+5}{x^2 – 25}  ;     

c) h(x) =\dfrac{3x-1}{x^2 + 2x + 2}

d) j(x) =\dfrac{-x^2 + 2x +3}{\sqrt{-x^2 + 2x +3}} ;                

k(x) =\dfrac{x^2}{1-\sqrt{1-x^2}}  ;  

m(x) =\dfrac{\sqrt{-2 + |x|}}{-3 + |x|}

2) Après avoir préciser leur ensemble de définition, étudier la parité des fonctions suivantes :

a)  f(x) = \dfrac{[x|}{x^3 – 2x} ;           

b) g(x) = \dfrac{x}{\sqrt{|x|+1}}    ;       

c) h(x) = 1 – 3x^2

Exercice 2. (6 pts)

Soit la fonction f définie par f(x) = \dfrac{2x – 3}{x + 1}
1 – a) Déterminer le domaine de définition de f(x).
b) Déterminer les réels a et b tel que f(x) = a + \dfrac{b}{x + 1}
c) Montrer que f est croissante sur ]-\infty  ; -1[[/latex] et sur ]–1 ; + \infty [ puis dresser son tableau de variation.
2 – Soit  (C ) la courbe représentative de f.
a) Déterminer les coordonnées des points d’intersection de (C) avec les axes (o.x) et (o.y)
b) Calculer  f(-5)      ;   f(-4)   ;   f(-3)   ;   f(-2)  ; f(-0,5)   ;    f(1)   ;   f(2)     ;   f(3)

Exercice 3. (7 pts)

On considère un rectangle ABCD tel que AB = 5 et BC = 3 ; x désignant un nombre compris entre 0 et 3, placer respectivement sur [AB] ; [BC] ;  [CD] et  [DA] les points A’  , B’ , C’  et D’ tels que AA’ = BB’ = CC’ = DD’ = x.
1 – Montrer que l’aire A(x) du quadrilatère A’B’C’D est :
A(x) = 2x^2 – 8x + 15
2 – Considérons la fonction f définie sur [0 ; 3] par f(x) = 2x^2 – 8x + 15.
a) Montrer que quelque soit x, ~~ f(x) ≥  7
b) Montrer que la fonction f est décroissante sur [0 ; 2] et croissante sur [2 ; 3]. Dresser le tableau de variation de f.
c) Représenter graphiquement f.