Sujet N°8

Exercice 1

a) Un carré et un triangle équilatéral ont même périmètre.
Le côté du triangle mesure 12 cm de plus que celui du carré. Quelles sont les longueurs des côtés de chaque polygone ?

b) Résoudre avec la méthode de votre choix le système
\begin{cases} X – 4y + 3y=2 \\ 3x – 4y + 5z=-1 \\ 2x + 3y + z=5 \end{cases}

c) Résoudre sur [-2\pi , 2\pi ]           
i) –2 \sin x = \sqrt{3}
ii) -\sqrt{2} \cos^2x + \cos x + \sqrt{2} = 0
iii) \cos (\dfrac{\pi}{2}- 2x)  > \cos\dfrac{\pi}{3}

Exercice 2

a) Déterminer m pour que les vecteur \overrightarrow{u}  et  \overrightarrow{v} soient colinéaires, avec :
\overrightarrow{u}(m-1 ; m +2) et  \overrightarrow{v} (m ; 2)
Déterminer m pour que les vecteur \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} soient orthogonaux, avec :
\overrightarrow{u}(m-1 ; m)  et  \overrightarrow{v} (m +2 ; 2m – 1)

b) Soient A(-3,1) ; B(1,5) ;  C(3,-3)  \in P (0 ,\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}).
Montrer que l’ensemble des points M(x, y) du plan tels que
2\overrightarrow{MA}^2 –  \overrightarrow{MB}^2 –  \overrightarrow{MC}^2= 0 est une droite du plan.
c) Déterminer l’équation du cercle de diamètre [AB] avec A(1, -2) et B(-1, -2).
L’équation x^2 + y^2 – 6x + 10y = 0 est-elle celle d’un cercle ?
d) Soient \overrightarrow{u} (1,3) et \overrightarrow{v} (-2,4). Déterminer l’angle \alpha formé par  \overrightarrow{u} et  \overrightarrow{v} dans un repère directe avec \alpha= ( \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})
e) Le système suivant est celle d’une translation ou d’une homothétie ?
\begin{cases} x’=-x +\dfrac{1}{2}\\ \\ y’=-y-\dfrac{3}{2}\end{cases} Préciser les caractéristiques.

Exercice 3

a) Soient ABC un triangle rectangle en A et isocèle (AB = AC = 4)
Soit A’ le milieu de [BC] et M un point de ]AA’[.
On pose AM = x.
La parallèle à (BC) passant par M, coupe (AB) en N et (AC) en P.
Soit f la fonction qui à x fait correspondre la mesure du périmètre du trapèze
BNPC. Calculer f(x) et former le tableau de variation de f.

b) Soit la fonction f définie par f(x) = \dfrac{x}{1 + x^2}
i) Donner l’ensemble de définition de f. Etablir que f est impaire.
ii) Calculer le taux d’accroissement de f entre x_1 et x_2[latex]. En déduire la variation de [latex]f sur [0,1] et sur [1,+\infty[ et dresser le tableau de variation de f sur [0,+\infty[
iii) Etablir que \forall ~ x positif on a   0 < f(x)  < \dfrac{1}{x}
En déduire que lorsque x → +\infty  alors y = f(x) → 0 et interpréter ce résultat.
iu) Calculer f(0) , f(1) et tracer la courbe de f sur [0, +\infty[ et par symétrie sur tout \R.