Corrigé Sujet BEPC 2

I) Les bonnes réponses sont :

1) a     
2) c

II) Résolution du système par la méthode de combinaison linéaire

\begin{cases} 3x-y=1 \\ 2x+3y=5 \end{cases} , on élimine y par addition des deux équation en multipliant la première équation par le coefficient 3. On a alors :
\begin{cases} 9x-3y=-3 \\ 2x+3y=5 \end{cases} , on obtient : 11x=2.

Soit x = \dfrac{2}{11} . on procède de la même manière pour élimer x en multipliant la deuxième équation du système par 3. Ce qui donne :
\begin{cases} -6+2y=2 \\ 6x+9y=15 \end{cases} ,
d’où :  11 y = 17   \overlinesegment{}   y = \dfrac{17}{11}

S_{\R} = \lbrace ( \dfrac{2}{11} ~;~ \dfrac{17}{11} ) \rbrace .

III) f étant une application linéaire, elle s’écrit :

f (x) = ax. f(-6) = 3 \overlinesegment{}   – 6a = 3 \overlinesegment{}  a= – \dfrac{1}{2}

IV)
1) Calcul de la distance BC :
\sin \widehat{A} = \dfrac{BC}{AC} \overlinesegment{} \text{BC} = \text{AC} \sin \widehat{A} = 6 \times \dfrac{1}{2} = 3. \\ \text{BC} = 3\text{cm}

2) Calcul de AD :
ACD est rectangle en C, d’après le théorème de Pythagore on a : AD² = AC²+CD².
\text{AD}^2= 36+9=45~~\overlinesegment{}~~\text{AD}= \sqrt{45} + 3\sqrt5.

V)
1) (\sqrt3-1)^2 =3-2\sqrt3 +1=4-2\sqrt3
2) Ecriture simplifiée et E :
A= \sqrt{4-2\sqrt3} = |\sqrt3 – 1| = \sqrt3 – 1

VI) \widehat{A’O’B’} = t_{\overrightarrow{OA}} ( \widehat{AOB} ) et \widehat{AOB}=65°.
La translation étant une isométrie ,elle conserve les distances et les angles, donc \widehat{A’O’B}=65°.

VII) Calcul de  OA :
Dans la figure, les triangles SO’A’ et SOA forment une configuration de Thalès. On a donc : 
\dfrac{SO’}{SO} = \dfrac{O’A’}{OA} – SO’ \times OA = O’A’ = O’A’ \times SO.
Soit
OA= \dfrac{SO \times O’A’}{SO’} = \dfrac{36 \times 12}{21,6}  =20

VIII) f(\sqrt5)= \dfrac{-\sqrt5 + 1}{2\sqrt5} = \dfrac{-5 + \sqrt5}{10}

IX)
1) Montrons que (AB) et (CD) sont parallèles:
\overrightarrow{AB} =4i-3j = -4(-i+\dfrac{3}{4}j) = -4\overrightarrow{CD}.
Les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD} sont colinéaire, donc les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

2) Coordonnées de \overrightarrow{OM}
\overrightarrow{OM}= – 2\overrightarrow{CD}= – 2(-i+\dfrac{3}{4}j)  =2i -\dfrac{3}{2}j , d’où :
\overrightarrow{OM}(2~;~\dfrac{-3}{2})

X)
1) Représentation de la droite (D₁)
2) Equation de (D₂) :
Soit m le coefficient directeur de (D₂), comme(D₂) passe par l’origine son équation réduite est du type y=mx. En plus (D₂),┴ (D₁),
Donc –\dfrac{1}{2}m=-1. (Le produit des pentes est -1), ce qui donne m=2 et par conséquent
(D₂) : y=2x.

XI) calcul du rapport de projection de (AB) sur (AC) parallèle à (BC) :
 k = \dfrac{AN}{AM} = \dfrac{NC}{MB} = \dfrac{AC}{AB} et prenant :

k = \dfrac{AN}{AM} , on a k=\dfrac{\dfrac{2}{3}}{2} = \dfrac{4}{3}

Deuxième partie :

I.1) Des données du problème, on établit les deux équations 15x+20y=6.000.000 et 35x+30y =11.500.000. Ce qui donne le système d’équation :
\begin{cases} 15x + 20y = 6.000.000 \\ 35x + 30y = 11.500.000 \end{cases}

2) Calcul de x et de y  : On utilise la méthode de son choix comme aucune méthode n’est imposée. On peut par exemple procéder par identification.
15x+20y=6.000.000 \leftrightarrow y=\dfrac{6.000.000 – 15x}{20}  

35x+30y=11.500.000 \leftrightarrow y=\dfrac{11.500.000 – 35x}{30} 

D’où  \dfrac{6.000.000 – 15x}{20} = \dfrac{11.500.000-35x}{30} \leftrightarrow

180.000.000 -450x=230.000.000-700x

Soit 250x-50.000.000 \leftrightarrow x=200.000 et par suite on déduit :
y= \dfrac{6.000.000-15 \times 200.000}{20} \leftrightarrow y=150.000.

Ainsi le prix d’une tonne de mil est de 200.000F et celui d’une tonne de maïs est de 150.000F

II.1) La figure

2) Les cordonnées de \overrightarrow{AB}  et \overrightarrow{DC}
\overrightarrow{AB}\binom{5-2}{6-3}  donc \overrightarrow{AB}\binom{3}{3}

\overrightarrow{DC}\binom{7-4}{4-1}  donc \overrightarrow{DC}\binom{3}{3}.

On a \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} donc ABCD est un parallélogramme

3) Calcul de distance
AC=\sqrt{26}  et BD=\sqrt{26}

4) ABCD est un parallélogramme dont dont ses diagonales AC et BD ont même longueur donc ABCD est un losange