3. Calculs sur les fractions
I)Egalité de deux fractions
1)Différentes écritures d’une fraction
a)Activité
Donner l’écriture décimale des fractions suivantes :
Que remarque t-on ?
On remarque que :
a et b étant des entiers naturels (avec b \ne 0 ) on a :
2) Simplification et amplification d’une fraction
- Simplifier une fraction c’est diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul.
- Amplifier une fraction c’est multiplier le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul. L’amplification permet de réduire des fractions au même dénominateur. Une fraction irréductible est une fraction qu’on ne peut plus simplifier.
Règle a ; b et k étant des entiers relatifs (b \ne 0 ; k \ne 0)
Exercice d’application
1)Simplifier les fractions suivantes :
2)Remplacer les pointillés par les nombres qui conviennent
3) Propriétés
Activité1
Compléter le tableau suivant que remarque t-on ?
On remarque que dans les cas ou \frac{a}{b} = \frac{c}{d} on a : ad = bc
- Propriété1
a ; b ; c et d étant des entiers relatifs (b \ne 0 et d \ne 0) si \frac{a}{b} = \frac{c}{d} alors ad = bc
Exercice d’application
Calculer x dans les cas suivants :
Activité2
Compléter le tableau suivant :
On constate que si ad = bc alors \frac{a}{b} = \frac{c}{d}
Propriété 2
a ; b ; c et d étant des entiers relatifs (b \ne 0 et d \ne 0) si ad = bc alors \frac{a}{b} = \frac{c}{d}
II)Addition
a)Règle
Pour additionner deux fractions d’entiers relatifs , on rend les dénominateurs positifs, on les réduit au même dénominateur puis on additionne les numérateurs tout en gardant le dénominateur commun.
Exemple : Calculons A = \frac{25}{18} + \frac{3}{-6}
Exercice d’application
Calculer :
III) Soustraction
1)Opposé
De la même manière
Exemple :
2) Soustraction
Soustraire un nombre c’est ajouter son opposé. Cette règle est aussi applicable sur les fractions.
Règle : a ; b et c étant des entiers relatifs \frac{a}{b} – \frac{c}{b} = \frac{a-c}{b}
Exemple :
Exercice d’application
Calculer :
IV)Multiplication
Règle : a ; b ; c et d étant des entiers relatifs (b \ne 0 et d \ne 0) an a \frac{a}{b} x \frac{c}{d} = \frac{a X c}{b X d}
Exercice d’application
Calculer et simplifier si possible
V)Division
1)Inverse d’une fraction
Règle : a et b étant des entiers relatifs ,l’inverse de la fraction \frac{a}{b} est la fraction \frac{b}{a}
Remarque : 0 n’a pas d’inverse
Exercice d’application
Donner l’inverse de chacun des nombres suivants :
2)L’inverse d’un nombre
Considérons le nombre 7 ; 7 = \frac{7}{1} et inv(\frac{7}{1}) = \frac{1}{7}
Ainsi l’inverse de 7 est \frac{1}{7}
Pour tout nombre non nul ‘’a ‘’ inv(a)= \frac{1}{a}
3)Division de fraction
a / b = \frac{a}{b} =a x \frac{1}{b} = a x inv(b) ;donc diviser par un nombre non nul c’est multiplier par l’inverse de ce nombre.
Cas des fractions :
Règle
a ; b ; c et d étant des entiers relatifs non nuls
Exercice d’application
Calculer et simplifier si possible.
VI) Puissance d’une fraction
Formule : Pour tous entiers relatifs a et b (b \ne 0) et tout entier naturel n, on a :
