4. Repérage sur la droite

I)Distance de deux points

1)Activité

Sur une droite graduée placer les point A et B dont les abscisses sont désignées par xA et xB et calculer la distance AB dans chacun des cas suivants:

  • 1e cas : xA=+3  et xB=+5
  • 2e  cas : xA=-4  et xB=1

Exprimer AB en fonction de xA et xB

1e cas 

AB=2 = 5-3=xB-xA

2e cas

AB=5=1+4=1-(-4)=xB-xA

  • Si xB > xA alors  xB-xA > 0  donc  AB= xB-xA
  • Si xB < xA alors  xB-xA < 0  donc  AB= -(xB-xA)

2) Règle

A et B étant deux points de la droite graduée d’ abscisses respectives xA et xB

AB= | xB – xA

Remarque : AB = BA

Exercice d’application

Soit A(-3) ; B(7) ; C(-1)   ; D(4)

Calculer les distances : AB ; BC ; CD ; AC ; AD

II) Abscisse du milieu de deux points

1) Activité 1

Placer le point M milieu de  A et  B et exprimer l’ abscisse xM de M en fonction de xB et xA dans les cas suivants :

  • 1er cas : xA=-6  et xB=4
  • 2eme    xA=-4  et xB=2

Réponse

1er cas

xM=-1 = \frac{(-6)+4}{2} = \frac{xA+xB}{2}

2ème cas

XM=-1 = \frac{-4+2}{2} = \frac{xA+xB}{2}

2) Popriété 1

Si M est le milieu de [AB] alors xM= \frac{xA+xB}{2}

3) Activité 2

On considère deux points  A et B de la droite graduée d’abscisses respectives xA et xB et un point M de la droite d’abscisse xM= \frac{xA+xB}{2} .

Calculer xM et placer A ; B et M dans les cas suivants :

  • 1er cas xA= 2 et xB=5
  • 2ème Cas xA= -1  et xB= 3

Que constate- t-on ?

1er cas xM= \frac{xA+xB}{2} = \frac{2+5}{2} = \frac{7}{2} ) =3,5

M est milieu de [AB]

2ème  cas xM= \frac{xA+xB}{2} = \frac{-1+3}{2} = 1

M est milieu de [AB]

 4) Propriété 2

Si xM= \frac{xA+xB}{2} alors M est le milieu de [AB]

 Exercice d’application

Soient A(4) ; B( –\frac{1}{2} ) et C(5)

1)Calculer l’abscisse de :

  • M milieu de [BC]
  • I milieu de [AB]
  • J milieu de [AC]

2)Le point E a pour abscisse 4,5.Montrer que E est le milieu de [AC]