11. Relation-Fonction

              I) Notion de relation et de fonction

  1. Exemple

Soit A l’ensemble des pays suivants

  • A= {Burkina Faso, Mali, Cameroun, Niger, Côte D’ivoire, Gabon}.

Soit B l’ensemble des villes suivantes :

  • B={Bamako, Ouagadougou, Abidjan, Lagos, Libreville}

On décide d’associer un pays élément de A à une ville élément de B si cette ville est située dans ce pays par l’expression « est le pays où est situé  »

 Exemples :

  • La Côte D’ivoire est le pays où est situé Abidjan :
  • Le Burkina Faso est le pays où est situé Ouagadougou
  • Le Gabon est le pays où est situé Libreville
  • Le Mali est le pays où est situé Bamako

On remarque que les pays Tchad et Niger ne sont associés à aucun élément de B et aucun élément de A n’est associé à la ville Lagos.

On dit qu’on a une Relation de l’ensemble A vers l’ensemble B.

L’expression « est le pays où est situé » est le lien verbal de cette relation.

Si nous remplaçons cette expression par R  nous écrivons Mali R Bamako

Le couple ( Burkina, Ouagadougou) ; correspond à une expression vraie

2)Notation –vocabulaire

La situation précédente fournit un exemple de Relation d’un ensemble A vers un ensemble B

L’ensemble A s’appelle l’ensemble de départ de  la relation R

L’ensemble B s’appelle l’ensemble d’arrivée de la relation R

«  Est le pays où est situé » est le lien verbal de la relation R

L’ensemble des couples qui permet d’obtenir toutes les phrases vraies est appelé graphe de la relation et est noté G

Exemple de graphe :

G= {(Burkina, Ouagadougou) ; {Mali, Bamako} ; {Gabon , Libreville) ; (Sénégal , Dakar)}

Libreville est l’image de Gabon, par cette relation, Gabon est l’antécédent de Libreville par cette relation

Couple= (antécédent, image)

3) Définition

Une relation est définie par :

  • un ensemble de départ
  • un ensemble d’arrivée
  • un ensemble de couple (ou lien verbal)

Une fonction est une relation telle qu’à chaque élément de l’ensemble de départ correspond à au plus (ou aucun) un élément de l’ensemble d’arrivée

II) Représentation d’une fonction

Il y’a plusieurs manières de représenter une fonction

1)Tableau de données

Considérons le tableau suivant donnant le relevé de la taille d’un garçon en fonction de son âge

Ce tableau est appelé tableau de données                                                           

2) Diagramme sagittal

On utilise cette représentation lorsqu’il y’a trop d’éléments dans l’ensemble de départ et d’arrivée ou  lorsque les éléments ne sont pas des nombres

3)Représentation graphique

a)Diagramme cartésien

Exercice d’application

Soit la représentation ci-dessous :

  • 1)Quel est l’ensemble de départ et d’arrivée de cette relation ?
  • 2)Quelle est l’image de d ?
  • 3)Quel est l’antécédent de 5 ?
  • 4)Cette relation est-elle une fonction ?

Corrigé

  1. A est l’ensemble  de départ de la relation et B est l’ensemble d’arrivée de la relation
  2. 7 est l’image de d
  3. e  est l’antécédent de 5
  4. Non, cette relation n’est pas une fonction car b a deux images