3. Les opérations (1) ET (2)

A) LES OPERATIONS (1) : SENS, TECHNIQUE ET PROPRIETES

I)Rappel sur  l’ addition et la soustraction

1)Addition

a)Activité

Issa pèse 32 Kg , son sac pèse 4Kg il monte avec son sac sur le pèse –personne . Quel est le poids total mesuré par son pèse-personne ?

Réponse : Le poids total est 32kg + 4kg=  36Kg

L’opération que nous venons de poser est une addition.

b) Définition

 Effectuer l’addition de deux nombres, c’est calculer la somme de ces deux nombres.

Chacun des nombres que l’on additionne est  appelé  terme de l’addition ( de la somme).

Le résultat d’une addition est appelé la somme.

Lorsqu’on pose une addition, il faut penser à :

  • Ecrire les virgules sous les virgules, les unités sous les unités ; les dizaines sous les dizaines ….. ;
  • Commencer l’addition par la colonne  de droite.

Exemple :   calculer 57, 5   +  3,85 + 62,34

2) Soustraction

a) Activité

Une vendeuse de fruits a reçu une caisse contenant 35 mangues . Elle doit   jeter 6 qui sont gâtées. Combien de mangue(s) lui reste – t-elle ?

Réponse :

35 – 6=29

L’opération que nous venons d’écrire est une soustraction.

b) Définition

Effectuer la soustraction de deux nombres c’est calculer la différence de ces deux nombres.

Le résultat d’une soustraction est appelé la différence.

Chacun des nombres que l’on soustrait est appelé un terme de la différence.

NB : dans le cas de la soustraction on ne peut pas changer l’ordre des termes.

Lorsqu’on pose une soustraction il faut penser à :

  • Ecrire les virgules sous les virgules ; les unités sous les unités ; ….
  • Compléter si besoin après la virgule par les Zéros
  • Commencer la soustraction par la colonne de droite.

Exemple : 487,5 – 78,26

II)La Multiplication et la division

  1. Multiplication

Le professeur veut distribuer 12 feuilles à chacun de ces 84 élèves. Combien de feuilles doit –il au minimum avoir en main ?

Réponse : 12 x 84 = 1008

L’opération que nous venons de poser est une multiplication. 84 et 12  sont les facteurs de la multiplication  et 1008 est le produit de la multiplication.

Lorsqu’on pose une multiplication il faut :

  • Effectuer la multiplication sans tenir compte des virgules.
  • Compter le nombre total de chiffres après la virgule dans les facteurs ; ce nombre correspond au  nombre des chiffres après la virgule au résultat.

Exemple : 48,7  x  53, 9  = 2624,93

2. La division

Un père veut partager équitablement une somme de 4585 F entre ses 15 enfants. Quel somme donnera t-il a chacun de ses enfants ?

Réponse :     4585 : 15 = 305    et il reste 10

Il donnera 305 F à chacun de ses enfants.

L’opération que nous venons de poser est une division.

  • 4585 est le dividende
  • 15 est le diviseur
  • 305 est le quotient
  • 10 est le reste.

III) Règle de priorité des opérations

On veut calculer 3 + 5  x 4

  • Si on donne la priorité à l’addition on écrit : (3 + 5) x 4 = 8 x 4 = 32
  • Si on écrit 3 + 5 x 4 sans parenthèse on donne la priorité à la multiplication et

On obtient 3 + 5 x 4 = 3 + 20 = 23

Retenons

Dans un calcul on effectue d’abord les opérations entre parenthèses ;si  il n’y a plus de parenthèses on donne la priorité à la multiplication ou à la division.

Exemple :

  • A= 8 + 5 x 6 + 7 x (4+ 9)   = 129
  • B= 5 x [(3+2) x 4 -12] =    40

B)Les opérations (2) : Propriétés

I) Addition

1)Addition de deux nombres

a) Activité

Effectuer les opérations suivantes :

5 +2 et 2 +5    ;    4,5 +10  et 10 + 4,5  que remarque t –on ?

  • On a : 5+2=7  et 2 +5 = 7  ;   4,5+10 = 14,5   et  10 +4,5=14,5
  • On remarque que  5+2=2 +5  et  4,5 +10 = 10 + 4,5 

b)Règle

Dans une somme de deux nombres on peut permuter les termes sans changer le résultat

Si a et b sont des décimaux on a : a + b = b +a ; on dit que l’addition est commutative.

  1. Addition de plusieurs termes 

a) Activité

Calculer (24 + 97) +3 et  24 + (97+3)

on a :

  • (24+97) +3 = 121 + 3= 124
  • 24+(97+3) = 24 + 100= 124

Alors on peut dire que : (24+97) +3 = 24+(97+3)

b)Règle

Dans une somme de plusieurs  nombres   on peut regrouper les termes selon son choix sans changer le résultat.

Si a ; b et c sont des nombres décimaux , on a : (a +b) + c = a + (b + c)  = a + b + c ;on dit l’addition est associative.

  • Conclusion :Dans une somme on peut changer l’ordre des termes et les regrouper selon son choix sans changer le résultat

II)Multiplication

1)Multiplication de deux nombres

a) Activité

Calculer  5 x 7 et 7 x 5     ;   2,5 x 4  et 4 x 2,5

Que remarque t-on ?

5 x 7= 35  et 7 x5 = 35      ;     2,5 x 4 = 10  et 4 x 2,5 = 10

On remarque que  5 x 7 =  7 x 5      et 2,5 x 4  = 4 x 2,5

b) Règle

Dans un produit de deux nombres on peut permuter les facteurs sans changer le résultat.

Si a et b sont deux nombres décimaux on a : a x b = b x a

On dit que la multiplication est commutative

2) Multiplication de plusieurs nombres

a) Activité

Calculer (6 x 12) x10  et 6 x ( 12 x 10) ; que remarque -t-on ?

  • (6 x 12 )x 10  = 72 x 10 =720
  • 6 x ( 12 x 10)  = 6 x 120 = 720

On remarque que (6 x 12 )x 10 = 6 x ( 12 x 10) 

b) Règle

Dans un produit  de plusieurs nombres on peut regrouper les facteurs selon son choix.

Si a ; b et c sont des nombres  décimaux, on a :  (a x b) x c = a x ( b x c ) = a x b x c ; on dit que la multiplication est associative.

  • Conclusion : Dans un produit ,on peut changer l’ordre des facteurs ou les regrouper selon son choix sans changer le résultat

III)Distributivité de  la multiplication par rapport à l’addition

  • Développement-Factorisation

Exemple 1 : Calculons de deux manières différentes l’aire du rectangle ABCD ci-dessous.

Retenons 1

Exemple 2 : Calculons de deux manières différentes l’aire du rectangle ABCD ci-dessous.

Retenons 2

Propriété

a ; b et c étant des nombres décimaux on a :

  • a x ( b + c) = a x b + a x c   et   a x (b – c ) = a x b – a x c
  • En passant de a x ( b + c)  à  a x b + a x c    on dit qu’on a développé  a x ( b + c)
  • En passant de  a x ( b – c)  à  a x b – a x c    on dit qu’on a développé  a x ( b – c)
  • En passant de a x b + a x c  à   a x ( b + c)    on dit qu’on a factorisé  a x b + a x c  ou qu’ on a mis a en facteur
  • En passant de   a x b – a x c     à   a x ( b – c) on dit qu’on a factorisé  a x b – a x c   ou qu’on a mis a en facteur.

NB :On peut supprimer le signe   de la multiplication devant une parenthèse ou devant une lettre.

Exemple :