3. Les opérations (1) ET (2)
A) LES OPERATIONS (1) : SENS, TECHNIQUE ET PROPRIETES
I)Rappel sur l’ addition et la soustraction
1)Addition
a)Activité
Issa pèse 32 Kg , son sac pèse 4Kg il monte avec son sac sur le pèse –personne . Quel est le poids total mesuré par son pèse-personne ?
Réponse : Le poids total est 32kg + 4kg= 36Kg
L’opération que nous venons de poser est une addition.
b) Définition
Effectuer l’addition de deux nombres, c’est calculer la somme de ces deux nombres.
Chacun des nombres que l’on additionne est appelé terme de l’addition ( de la somme).
Le résultat d’une addition est appelé la somme.
Lorsqu’on pose une addition, il faut penser à :
- Ecrire les virgules sous les virgules, les unités sous les unités ; les dizaines sous les dizaines ….. ;
- Commencer l’addition par la colonne de droite.
Exemple : calculer 57, 5 + 3,85 + 62,34

2) Soustraction
a) Activité
Une vendeuse de fruits a reçu une caisse contenant 35 mangues . Elle doit jeter 6 qui sont gâtées. Combien de mangue(s) lui reste – t-elle ?
Réponse :
35 – 6=29
L’opération que nous venons d’écrire est une soustraction.
b) Définition
Effectuer la soustraction de deux nombres c’est calculer la différence de ces deux nombres.
Le résultat d’une soustraction est appelé la différence.
Chacun des nombres que l’on soustrait est appelé un terme de la différence.
NB : dans le cas de la soustraction on ne peut pas changer l’ordre des termes.
Lorsqu’on pose une soustraction il faut penser à :
- Ecrire les virgules sous les virgules ; les unités sous les unités ; ….
- Compléter si besoin après la virgule par les Zéros
- Commencer la soustraction par la colonne de droite.
Exemple : 487,5 – 78,26

II)La Multiplication et la division
- Multiplication
Le professeur veut distribuer 12 feuilles à chacun de ces 84 élèves. Combien de feuilles doit –il au minimum avoir en main ?
Réponse : 12 x 84 = 1008
L’opération que nous venons de poser est une multiplication. 84 et 12 sont les facteurs de la multiplication et 1008 est le produit de la multiplication.
Lorsqu’on pose une multiplication il faut :
- Effectuer la multiplication sans tenir compte des virgules.
- Compter le nombre total de chiffres après la virgule dans les facteurs ; ce nombre correspond au nombre des chiffres après la virgule au résultat.
Exemple : 48,7 x 53, 9 = 2624,93
2. La division
Un père veut partager équitablement une somme de 4585 F entre ses 15 enfants. Quel somme donnera t-il a chacun de ses enfants ?
Réponse : 4585 : 15 = 305 et il reste 10
Il donnera 305 F à chacun de ses enfants.
L’opération que nous venons de poser est une division.
- 4585 est le dividende
- 15 est le diviseur
- 305 est le quotient
- 10 est le reste.
III) Règle de priorité des opérations
On veut calculer 3 + 5 x 4
- Si on donne la priorité à l’addition on écrit : (3 + 5) x 4 = 8 x 4 = 32
- Si on écrit 3 + 5 x 4 sans parenthèse on donne la priorité à la multiplication et
On obtient 3 + 5 x 4 = 3 + 20 = 23
Retenons
Dans un calcul on effectue d’abord les opérations entre parenthèses ;si il n’y a plus de parenthèses on donne la priorité à la multiplication ou à la division.
Exemple :
- A= 8 + 5 x 6 + 7 x (4+ 9) = 129
- B= 5 x [(3+2) x 4 -12] = 40
B)Les opérations (2) : Propriétés
I) Addition
1)Addition de deux nombres
a) Activité
Effectuer les opérations suivantes :
5 +2 et 2 +5 ; 4,5 +10 et 10 + 4,5 que remarque t –on ?
- On a : 5+2=7 et 2 +5 = 7 ; 4,5+10 = 14,5 et 10 +4,5=14,5
- On remarque que 5+2=2 +5 et 4,5 +10 = 10 + 4,5
b)Règle
Dans une somme de deux nombres on peut permuter les termes sans changer le résultat
Si a et b sont des décimaux on a : a + b = b +a ; on dit que l’addition est commutative.
- Addition de plusieurs termes
a) Activité
Calculer (24 + 97) +3 et 24 + (97+3)
on a :
- (24+97) +3 = 121 + 3= 124
- 24+(97+3) = 24 + 100= 124
Alors on peut dire que : (24+97) +3 = 24+(97+3)
b)Règle
Dans une somme de plusieurs nombres on peut regrouper les termes selon son choix sans changer le résultat.
Si a ; b et c sont des nombres décimaux , on a : (a +b) + c = a + (b + c) = a + b + c ;on dit l’addition est associative.
- Conclusion :Dans une somme on peut changer l’ordre des termes et les regrouper selon son choix sans changer le résultat
II)Multiplication
1)Multiplication de deux nombres
a) Activité
Calculer 5 x 7 et 7 x 5 ; 2,5 x 4 et 4 x 2,5
Que remarque t-on ?
5 x 7= 35 et 7 x5 = 35 ; 2,5 x 4 = 10 et 4 x 2,5 = 10
On remarque que 5 x 7 = 7 x 5 et 2,5 x 4 = 4 x 2,5
b) Règle
Dans un produit de deux nombres on peut permuter les facteurs sans changer le résultat.
Si a et b sont deux nombres décimaux on a : a x b = b x a
On dit que la multiplication est commutative
2) Multiplication de plusieurs nombres
a) Activité
Calculer (6 x 12) x10 et 6 x ( 12 x 10) ; que remarque -t-on ?
- (6 x 12 )x 10 = 72 x 10 =720
- 6 x ( 12 x 10) = 6 x 120 = 720
On remarque que (6 x 12 )x 10 = 6 x ( 12 x 10)
b) Règle
Dans un produit de plusieurs nombres on peut regrouper les facteurs selon son choix.
Si a ; b et c sont des nombres décimaux, on a : (a x b) x c = a x ( b x c ) = a x b x c ; on dit que la multiplication est associative.
- Conclusion : Dans un produit ,on peut changer l’ordre des facteurs ou les regrouper selon son choix sans changer le résultat
III)Distributivité de la multiplication par rapport à l’addition
- Développement-Factorisation
Exemple 1 : Calculons de deux manières différentes l’aire du rectangle ABCD ci-dessous.


Retenons 1

Exemple 2 : Calculons de deux manières différentes l’aire du rectangle ABCD ci-dessous.


Retenons 2

Propriété
a ; b et c étant des nombres décimaux on a :
- a x ( b + c) = a x b + a x c et a x (b – c ) = a x b – a x c
- En passant de a x ( b + c) à a x b + a x c on dit qu’on a développé a x ( b + c)
- En passant de a x ( b – c) à a x b – a x c on dit qu’on a développé a x ( b – c)
- En passant de a x b + a x c à a x ( b + c) on dit qu’on a factorisé a x b + a x c ou qu’ on a mis a en facteur
- En passant de a x b – a x c à a x ( b – c) on dit qu’on a factorisé a x b – a x c ou qu’on a mis a en facteur.
NB :On peut supprimer le signe de la multiplication devant une parenthèse ou devant une lettre.
Exemple :
