3 : Etude des fonctions numériques – Tle L
I. Rappels : Elément de symétrie d’une courbe
- Dans un repère orthonormé, la courbe représentative d’une fonction paire admet l’axe des ordonnées comme axe de symétrie.
- Dans un repère orthogonal, la courbe représentative d’une fonction impaire admet l’origine du repère comme centre de symétrie.
Remarques
La courbe représentative d’une fonction f qui n’est ni paire ni impaire peut admette un axe ou un centre de symétrie . Pour déterminer l’un ou l’autre des éléments de symétrie Il est parfois nécessaire d’effectuer un changement de repère de sorte que l’équation de la courbe de f dans ce nouveau repère soit de la forme y=g(x) ou g est une fonction paire ou impaire.
Cas particuliers
- Dans un repère orthonormé, la courbe représentative d’une fonction polynôme f de degré2 admet la droite d’équation y=x0 où x0 est le réel tel que f’(x0)=0 comme axe de symétrie.
- Dans un repère orthonormé, la courbe représentative d’une fonction polynôme f de degré 3 admet le point d’abscisse xo telle que f(x) + f(2xo-x) = o comme centre de symétrie.
II) Plan d’étude d’une fonction
L’étude d’une fonction s’effectue suivant le plan ci-dessous :
- On détermine lorsqu’il n’est pas explicitement donné, l’ensemble de définition de la fonction
- On étudie éventuellement la parité de la fonction et on en déduit les éléments de symétrie (centre de symétrie, axe de symétrie) de la courbe
- On calcule les limites de la fonction aux bornes des intervalles de son ensemble de définition
- On détermine la fonction dérivée de la fonction ; on étudie le signe de cette fonction dérivée et en déduit le sens de variation de la fonction
- On dresse le tableau de variation de la fonction
- On précise les asymptotes éventuelles de la courbe
- On construit soigneusement la courbe représentative de la fonction. A cet effet, on place si possible quelques points particuliers (extrema, intersection avec les axes de coordonnées …) et on trace les asymptotes et les tangentes horizontales éventuelles.
Exercices