4 : Fonction logarithme népérien – Tle L
I. Théorème et définition
On admet qu’il existe une fonction numérique noté \ln, appelée fonction logarithme népérien, définie et dérivable sur I=] 0 ~;~ +\infty[ telle que f(1) = \ln1=0 et pour tout x \in I, (\ln x)’ = \dfrac{1}{x}
II. Premières propriétés
1) La fonction \ln est strictement croissante sur ] 0 ~;~ +\infty[et son tableau de variation est le suivant :
On complètera le tableau ultérieurement .
Conséquences
La croissance stricte de la fonction \ln se traduit par :
Pour tous x \in ] 0 ~;~ +\infty[ et pout tout y \in ] 0 ~;~ +\infty[~; x < y \Leftrightarrow \ln x < \ln y et x=y \Leftrightarrow \ln x = \ln y.
Exemple
Résolvons dans \Psi, \ln(2x+1)= \ln(-x) et \ln(1-x)=0
L’équation \ln(2x+1)= \ln(-x) est valide si 2x+1 > 0 et -x > 0
2x+1 > 0 \Leftrightarrow x > -\dfrac{1}{2} et -x > 0 \Leftrightarrow x < 0
Le domaine de validité (D_V) est D_V= ]-\infty~;~ 0[ \cap ]-\dfrac{1}{2} ~;~0[
\forall ~x \in D_V ; \ln(2x+1)= \ln (-x) \Leftrightarrow 2x+1=-x \\ \Leftrightarrow x = -\dfrac{1}{3}
-\dfrac{1}{3} \in D_V donc S_{\Psi}= \lbrace -\dfrac{1}{3} \rbrace
L’équation \ln(1-x)=0 est valide si 1-x > 0 c’est-à-dire si x< 1 donc D_V = ]-\infty ~;~1[
\forall ~x \in D_V , \ln(1-x) =0 \Leftrightarrow \ln(1-x)= \ln 1 \\ 1 - x = 1 \\ x=0 or 0 \in D_V donc S_{\Psi} = \lbrace 0 \rbrace
2) La fonction ln possède la propriété suivante :
- Tout réel y admet un et un seul antécédent dans ] 0~;~ +\infty[ par la fonction \ln
- \ln est une bijection de ]0 ~;~ +\infty [ sur \Psi
- e est le réel vérifiant \ln e =1
- Une valeur approchée de e est 2,718
Conséquences
\ln 1=0 ~;~ \ln e=1
Pout tout x \in ]0~;~+\infty [,~\ln x > 0 \Leftrightarrow x >1 et \ln x < 0 \Leftrightarrow 0 < x < 1
Exercice
Résolvons dans \Psi, l’inéquation \ln (-3x+2) \leq 1
D_V = \lbrace x ~;~ x \in \R et -3x + 2 > 0 \rbrace = ]-\infty ~;~ \dfrac{2}{3} [
\forall ~x \in D_V,~ \ln (-3x+2) \leq 0 \\ \Leftrightarrow \ln (-3x+2) \leq \ln e \\ \Leftrightarrow -3x + 2 \leq e \\ \Leftrightarrow x \geq \dfrac{2-e}{3}
3) Pour tous réels x et y strictement positifs, on a : \ln x.y = \ln x+ \ln y ~;~ \ln(\dfrac{x}{y})= \ln x- \ln y
Pour tout x \in ]0 ~;~+\infty[~;~ \ln x^2 = 2\ln x ~;~ \ln \sqrt{x} = \dfrac{1}{2} \ln x ~;~ \ln (\dfrac{1}{x} ) =- \ln x
1. Conséquence
2. Pour tout x \in ]0 ~;~+\infty[ et pour tout entier n ;~ \ln x^n = n \ln x
Pour tout réel x non nul et pout tout entier n paire ; \ln x^n = n \ln |x|
Exercice d’application
Résolvons dans \Psi, (\ln x)^2 – \ln x - 2=0
D_V= ]0 ~;~+\infty[
Posons X= \ln x
L’équation devient X^2 -X-2=0
\Delta =1-4(-2)=9
X_1 = \dfrac{1-3}{2} = -1 et X_2= \dfrac{1+3}{2} =2
Comme X= \ln x, alors \ln x =-1 ou \ln x =2
\ln x= \ln e^{-1} ou \ln x = \ln e^2
\Leftrightarrow x=e^{-1} ou x=e^2
S_{\Psi} = \lbrace e^{-1} ~;~ e^2 \rbrace
III. Limite et représentation graphique
Retenons
\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} \ln x = -\infty et \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \ln x = +\infty
On peut alors compléter le tableau de variation de II) 1 ) comme suit :
Remarque
La droite d’équation x=0 est une asymptote verticale à la courbe de la fonction \ln (car \lim\limits_{x \rightarrow 0^+} \ln x = -\infty).
Autres résultats
a) \lim\limits_{x \rightarrow 0^+} x \ln x =0 ~;~\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0
b) Si u est une fonction numérique définie, ne s’annulant pas sur un intervalle I et dérivable sur I alors la fonction définie par :
x \mapsto \ln |u(x)| est définie et dérivable sur I et sa fonction dérivée sur I est la fonction définie par x \mapsto \dfrac{u'(x)}{u(x)}