5 : Fonction exponentielle de base e - Tle L

I. Définition et notation

Théorème et Définition

On admet qu’il existe une fonction numérique appelée fonction exponentielle de base $e$ , notée $x \mapsto e^x$ , définie et dérivable sur $\Psi$ telle que :
$e^0 =1$ et pour tout réel $x ; ~ (e^x)’ = e^x$

II. Premières propriétés

1) La fonction exponentielle de base $e$ est strictement croissante sur $\Psi$ et son tableau de variation est le suivant

On completera le tableau ultérieurement.
Quels que soient les réels $x$ et $y$ ; $x \geq y \Leftrightarrow e^x \geq e^y$ et $x = y \Leftrightarrow e^x = e^y$

Exemple

Résolvons $e^{2x} = e^{-x^2-3}$
$\forall ~x \in \Psi ~;~ e^{2x} = e^{-x^2 -3} \\ \Leftrightarrow 2x = -x^2 - 3 \\ \Leftrightarrow x^2 +2x + 3 = 0 \\ \Delta = 4-4 \times 3 = -8$
$\Delta < 0$ donc $S= \empty$

2) La fonction $x \mapsto e^x$ vérifie la propriété suivante :

Elle est une bijection de $\Psi$ sur $\Psi _+^*$
$e^0 = 1$ et $e^1 =e$

Conséquences

Pour tout réel $x$ ; $x > 0 \Leftrightarrow e^x > 1$
$x < 0 \Leftrightarrow e^x < 1$

Exercice d’application

a) Déterminer l’équation de la tangente $(T)$ à la courbe de $x \mapsto e^x$ au point d’abscisse 1.
b) Résoudre dans $\Psi$ ; $e^{2x-3}=1$

Corrigé

a) Equation de la tangente $(T)$
Soit $f(x) = e^x$
$(T) : y=f’(1)(x-1)+f(1)=e(x-1)+e \\ y = ex - e+e$
d’où $(T) : y=ex$

b) Résolution dans $\Psi$
$e^{2x-3} =1 \\ \Leftrightarrow e^{2x-3} =e^0 \\ \Leftrightarrow 2x-3 = 0$
$S_R = \lbrace \dfrac{3}{2} \rbrace$

3) On admet que

Pour tous réels $x$ et $y$ ; on a : $e^{x+y} = e^x.e^y$

Conséquences

Pour tous réels $x$ et $y$ ,
$e^{-x} = \dfrac{1}{e^x} ~;~ e^{x-y} = \dfrac{e^x}{e^y} ;(e^x)^2 = e^{2x}$

Remarque : $e^n (n \in \varsigma)$ Représente la puissance n-ième de $e$ . 2^e

III. Limites et représentation graphique

Retenons

\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} e^x  = 0 ~;~ \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} e^x = +\infty

On peut alors compléter le tableau de variation

Remarque

la droite d’équation $y=0$ est asymptote horizontale à la courbe de $x \mapsto e^x$ (car $\lim\limits_{x \rightarrow - \infty} e^x =0$ )

IV. Autres propriétés

$\lim\limits_{x \rightarrow - \infty} xe^x =0$ et $\lim\limits_{x \rightarrow + \infty} \dfrac{e^x}{x} = + \infty$
Si $u$ est une fonction numérique définie et dérivable sur un intervalle de $\Psi$ alors la fonction définie par $x \mapsto xe^{u(x)}$ est définie et dérivable sur $I$ et pour tout $x \in I$ ; $(e^{u(x)} )’ =u’(x)e^{u(x)}$

Exemple

Soit $f$ et $g$ deux fonction numériques définies par $f(x)= 3e^x - xe^{2x}$ et $g(x)= e^{3x-4}$
$f$ et $g$ sont dérivables sur $\Psi$ et on a :
$f ’(x)= 3e^x - (e^{2x} + 2xe^{2x} )= 3e^x -(1+2x) e^{2x}$
$g’(x)= 3e^{3x-4}$

V. Lien entre $\ln x$ et $e^x$

Propriété

Pour $x >0$ ; $e^{\ln x} = x$
Pour tout réel $x,~ \ln e^x = x$
Pour tout réel strictement positif $x$ et pour tout réel $y,~ y= \ln x \Leftrightarrow x=e^y$

Exemple

Résolvons l’équation $e^{2x-1}=3$
$3= e^{\ln 3}$ donc $e^{2x+1} = 3 \\ \Leftrightarrow e^{2x-1} = e^{\ln 3} \\ \Leftrightarrow 2x -1 = 3 \\ \Leftrightarrow x = 2$
$S= \lbrace 2 \rbrace$

Exercice d’application

Trois affirmations, réparties en trois thèmes et numérotées de 1.a. à 1.c sont proposées ci-dessous. L’élève portera sur sa copie en regard du numéro de l’affirmation, et avec le plus grand soin, la mention VRAI ou FAUX.
Pour tout réel $x$ , $e^x$ désigne l’image de $x$ par la fonction exponentielle.