7 : Suites géométriques – Suites numériques – Convergences – Tle L
I. Rappels
1. Suite géométrique
a. Définition
Soit q un nombre réel non nul. « Une suite (Un)est une suite géométrique de raison q » signifie que tout terme de la suite (sauf le premier) est égal au produit de q et du terme qui le précède.
On a donc : Un+1= q. Un quel que soit l’entier naturel n.
b. Propriété
Si (Un) est suite géométrique de raison q et de premier terme U0 alors :
– Pour tout entier naturel n, Un = qn \times U0
– La somme U0 + U1 + U2 + …. + Un-1 des n premiers termes est :
nU0 si q=1
\dfrac{1- qn}{1-q} ~\times U0 si q¹ \ne 1
Si (Un) est suite géométrique de raison q et de premier terme Up (p \in \varsigma) alors :
Pour tout entier naturel n, Un = qn-p \times Up
La somme U1 + U2 + …. + Un des n premiers termes est :
\dfrac{1-q^{n-p+1}}{1-q} ~\times Up si q \ne 1
Remarque
Pour étudier le sens de variation d’une suite géométrique il faut étudier le signe de Un + 1 – Un
- Si Un+1 – Un \geq 0 alors la suite (Un) est croissante
- Si Un + 1 – Un \leq 0 alors la suite (Un) est décroissante
- Si Un + 1 – Un = 0 alors la suite (Un) est stationnaire
Ou si tous les termes sont positifs, comparer \dfrac{U_n + 1}{U_n} à 1
- Si \dfrac{U_n + 1}{U_n}~\geq ~1 alors (Un) est croissante
~ - Si \dfrac{U_n + 1}{U_n}~\leq ~1 alors (Un) est décroissante
~ - Si \dfrac{U_n + 1}{U_n}=1 alors (Un) est stationnaire
2. Suite arithmétique
a. Définition
soit r un nombre réel. « Une suite (Un) est une suite arithmétique de rayon r » signifie que tout terme de la suite (sauf le premier) est égal à la somme du terme qui le précède et de r.
On a donc Un+1 = Un + r (quel que soit l’entier naturel n).
b. Propriété
Si (Un) est une suite arithmétique de premier terme U0 et de raison r alors :
– Pour tout entier naturel n, Un = U0 + nr
– Pour tout entier naturel n, U0 + U1 + U2 + …. + Un-1 des n premiers termes de la suite est \dfrac{n(U_0 + U_{n-1})}{2}
Si (Un) est une suite arithmétique de premier terme Up (p \in \varsigma) et de raison r alors :
– Pour tout entier naturel n, Un = Up + (n-p)r
– Pour tout entier naturel n, U0 + U1 + U2 + …. + Un-1 des n premiers termes de la suite est \dfrac{(n-p+1)(U_p + U_n)}{2}
- (Un) est croissante si r > 0
- (Un ) est décroissante si r < 0
- (Un) est constante si r = 0
Exercice d’application
1) Soit (Un) la suite définie par U_n = \dfrac{1}{3^n}. Montrer que (Un) est une suite géométrique que l’on précisera son premier terme et sa raison.
2) (Vn) est la suite arithmétique de premier terme V0 = 3 et de raison r = 5
a) Exprimer Vn en fonction de n (n \in N)
b) Calculer la somme S10 des 10 premier termes
Corrigé
1) Montrons que (Un) est une suite géométrique.
\dfrac{U_{n+1}}{U_n} = \dfrac{\dfrac{1}{3^{n+1}}}{\dfrac{1}{3^{n}}} = \dfrac{1}{3^{n+1}} \times 3^n = \dfrac{3^n}{3^{n+1}} = \dfrac{3^n}{3 \times 3^{n}} = \dfrac{1}{3} donc Un est une suite géométrique de raison q = \dfrac{1}{3} et de premier terme U_0 =\dfrac{1}{3^0} = 1.
2.a) Expression de Vn en fonction de n.
Vn = V0 + nr = 3 + 5n.
b) Calcul de la somme S10
S_n = \dfrac{n(V_0 + V_{n-1})}{2} donc S_{10} = \dfrac{10(V_0 + V_{9})}{2} avec V_9 = V_0 + nr = 3 + 9 \times 5 = 48 d’où S_{10} = \dfrac{10(3+48)}{2} =255
II. Convergence des suites géométriques et arithmétiques
1. Suites géométriques
Propriété de définition
Soit une suite géométrique de raison q et de premier terme a (a¹0)
– Si -1 < q < 1 alors \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} U_n = 0 ; on dit dans ce cas que (Un) est convergente et converge vers 0.
– Si q > 1 ; alors \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} | U_n | = +\infty ; on dit dans ce cas que (Un) est divergente.
– Si q \leq -1 alors (Un) n’a pas de limite, (Un) est encore divergente
– Si q = 1 alors Un = a, \forall n \in \varsigma, dans ce cas (Un) est constante et converge vers a.
2. Suites arithmétiques
Propriété
Soit (Un) une suite arithmétique de raison r.
Si r \ne 0 alors la suite (Un) est divergente et \lim\limits_{x \rightarrow + \infty} U_n = \begin{cases} +\infty ~~\text{si}~ r >0 \\ -\infty ~~\text{si} ~r <0 \end{cases}