8 : Probabilité – T

I. Rappel de dénombrements

1. Cardinal d’un ensemble

Soit l’ensemble E = {e₁ ; e₂ ; e₃ ; … ; e_n}
Le nombre d’éléments d’un ensemble fini E est appelé cardinal de E noté cardE
Exemple : cardE = n     

a. Soient A et B deux parties d’un ensemble E

On a : \text{card}(A \cup B) =\text{card} A +\text{card}B~-~ \text{card}(A \cap B )
Remarque1 : Si A \cap B = \empty alors \text{card}(A \cup B) =\text{card} A +\text{card}B
Remarque 2 : Notons A le complémentaire dans E du sous-ensemble A.
On a : A \cap \overline{A} = \empty  et A \cup \overline{A} = E et donc \text{card} \overline{A}  = \text{card}E- \text{card}A

Exercice
Des objets sont fabriqués avec du fer et du bois
Dans une caisse, on place 30 de ces objets et on compte 16 objets contenant du bois et 25 objets contenant du fer.
1) Combien d’objets ne contiennent que du fer ?
2) Combien d’objets ne contiennent que du bois ?
3) Combien d’objets contiennent du bois et du fer ?

Corrigé
Désignons par \text{card}A le nombre d’objets ne contenant que du fer, \text{card}B le nombre d’objet ne contenant que du bois et \text{card}(A \cap B) le nombre d’objet contenant du bois et du fer.
On a : \text{card}(A \cup B) =\text{card} A +\text{card}B~-~ \text{card}(A \cap B )
\Leftrightarrow \text{card}(A \cap B) =\text{card} A +\text{card}B~-~ \text{card}(A \cup B ) \\ \text{card}(A \cap B) = 25+16-30 = 11

Il y a donc :
1) 25-11 soit 15 objets ne contenant que du fer
2) 16-11 soit 5 objets ne contenant que du bois
3) et  11 objets contenant du bois et du fer

b. Soit E un ensemble de n éléments et p un entier naturel, il y a n^pp-uplets d’éléments de E

Exemple
Soit E = {a, b, c}. Les couples d’éléments de E sont : (a ; a) ; (a ; b) ; (a ; c) ; (b ; a) ; (b ; b) ; (b ; c) ; (c ; a) ; (c ; b) ; (c ; c) soit exactement 3²= 9 couples.

Remarque
Plus généralement, on a : Card(E₁ \times E₂ \times E₃ \times …. \times E_n) = (cardE₁) \times (cardE₂) \times (cardE₃) \times … \times (cardE_n)

c. Soit E un ensemble de n éléments et p un entier naturel non nul inférieur ou égal à n

• On appelle arrangement de p éléments de E, tout p-uplet d’éléments de E deux a deux distincts
• Le nombre d’arrangements de p éléments de E est = n(n-1) \times … \times (n-p+1)
• Si p= n, un tel arrangement est appelé permutation de E ; le nombre A_n^n est notén! de sorte que A_n^n = n! = n(n-1) (n-2) \times …. \times 2 \times1 est le produit des premiers nombres entiers naturels non nuls.

Remarque :

• On peut écrire A_n^p = \dfrac{n!}{(n-p)!} pour 1<p<n
• Par convention on note 0!=1 de sorte que la formule est valable pour 1≤p≤n.

Exercice d’application
Calculons A_5^1 ; A_5^3 et A_5^5

A_5^1 = \dfrac{5!}{(5-1)!} = \dfrac{5!}{4!} = \dfrac{5 \times 4!}{4!} = 5

A_5^3 = \dfrac{5!}{(5-3)!} = \dfrac{5!}{2!} = \dfrac{5 \times 4 \times 3 \times 2!}{2!} = 60

A_5^5 = \dfrac{5!}{(5-5)!} = \dfrac{5!}{0!} = \dfrac{5!}{1} = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120

d. Le nombre de combinaisons de p éléments de E est noté C_n^p ; on a : C_n^p = \dfrac{n!}{p!(n-p)!}

Remarque :
Si 1≤p≤n, on a C_n^p = \dfrac{A_n^p}{p!}
Pour étendre la formule ; on pose A_n^0 = 1 de sorte que C_n^p = \dfrac{A_n^p}{p!}  soit valable pour tout entier naturel n.

Résumé
Tirer p éléments de E, d’un ensemble à n éléments

II. Probabilités

1. Vocabulaire des probabilités

Exemple : on lance un équilibré et on s’intéresse au numéro porté, après arrêt, par la face supérieure du dé.
On peut obtenir 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ou 6 ; ce sont les 6 éventualités (ou cas possible). Leur ensemble \Omega = (1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6) est l’ensemble ou univers des possible.

a. Définition 

Soit \Omega un ensemble fini. Si à chaque éléments x_i de \Omega on sait associer un nombre p_i de d’intervalle [0 ; 1] tel que la somme de tous les p_i est égale à 1, on dit qu’on a défini une probabilité sur \Omega : p_i désigne la probabilité de l’événement élémentaire {x_i} : p_i = p({x_i})
Si A est  un événement ; la probabilité de A est la somme des probabilités des évènements élémentaires dont il est la réunion.

Remarque
Si tous les événements élémentaires ont la même probabilité, on dit que l’hypothèse d’équiprobabilité est satisfaite. Alors :
Soit A = (a₁ ; a₂ ; a₃ ; …. ; a_k) un événement ; par définition :
p(A) = p_1+p_2+…+p_k=  \dfrac{1}{\text{card}(\Omega )}  + \dfrac{1}{\text{card}(\Omega )}  + …. + \dfrac{1}{\text{card}(\Omega )} (k fois) = \dfrac{k}{\text{card}(\Omega )} = \dfrac{\text{card}(A )}{\text{card}(\Omega )}

\text{card}(A ) désigne le nombre de cas  favorables à la réalisation de A,
\text{card}(\Omega ) désigne le nombre de cas possibles, par suite :
p(A) = \dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}

Exemple : Dans le lancer du dé, p (<<obtenir un nombre pair>>) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}
Remarque : Sauf précision contraire on supposera dans  toute la suite qu’il y a équiprobabilité

b. Propriété

Si A et B sont incompatibles alors p(A \cup B) = p(A) + p(B) en effet
p(A\cup B)= \dfrac{\text{card}(A \cup B )}{\text{card}(\Omega )} = \dfrac{\text{card}A+ \text{card}B)}{\text{card}(\Omega )} = \dfrac{\text{card}(A )}{\text{card}(\Omega )} + \dfrac{\text{card}(B )}{\text{card}(\Omega )}
De même : si A, B et C sont 2 à 2 incompatibles
p(A\cup B\cup C) = p(A)+p(B)+p(C)

Plus généralement ;  soient A et B deux évènements, on a p(A\cup B) =p(A)+ p(B)-p(A\cap B)
(voir la formule sur les cardinaux)

Notons \overline{A} l’évènement  contraire de A (complémentaire de A dans ), on a : p(\overline{A})=1-p(A)

2. Variable aléatoire

Activité
Un urne contient 3 boules noires et 4 boules blanches indiscernables au toucher.
On tire simultanément 2 boules.
On gagne 100 f par boule noire tirée. Combien peut-on gagner ? Avec quelles probabilités ?

Réponse : On peut  tirer 0, 1 ou 2 boules noires, donc gagner 0f ; 100f ou 200f.
Notons x la somme gagnée.
(X=0) désigne “0 boule noire a été tirée”, sa probabilité est p(X=0) = \dfrac{2}{7}
(X=100) désigne “1 boule noire a été  tirée”, sa probabilité est p(X=100) = \dfrac{4}{7}
(X=200) désigne “2 boules  noires  ont  été  tirées “, sa probabilité est p(X=200) = \dfrac{1}{7}
Ont dit que X est une variable aléatoire : 0, 100 et 200 sont les valeurs prises par X.
Les résultats précédents sont généralement mis dans un tableau du type

Ce tableau définit la loi de probabilité de X

Remarque : La somme des probabilités de la 2^ème ligne est égale à 1. C’est souvent un moyen de vérifier les calculs.

a. Définition

 Soit p une probabilité sur un univers \Omega. Une variable aléatoire sur \Omega est une application X de \Omega vers \varPsi

Soit U = (x₁, x₂ ; … ; x_n)  l’ensemble des valeurs de X. La loi de probabilité de X est l’application p’ qui à x, élément  de U, associe le réel p’(x) = p(X=x) désignant  la probabilité de l’événement (X=x), c’est –à-dire l’ensemble des éléments de \Omega dont l’image par X est  x
On  représente la loi de probabilité de X par le tableau

Remarque : p₁ + p₂ + … + p_n = 1
On rencontre aussi l’événement (X ≤ x) où x \in \varPsi. Il désignent l’ensemble des éléments (éventualités) de \Omega dont l’image par X est inférieure ou égale à x. dans l’exemple précédent :
(X ≤ 100) désigne l’évènement “0 ou i boule noire”.

b) Fonction de répartition d’une variable aléatoire

C’est  la fonction numérique F de la variable réelle X qui à x \in \varPsi associe le réel p (X ≤  x).
Dans l’exemple précédent

Représentation graphique

Remarque :

• La fonction prend ses valeurs dans [0,1]
• C’est une fonction en escalier, sa courbe est formée de segments fermés à gauche et ouverts à droite et de deux demi-droites ; tous les supports sont horizontaux.
• F est une fonction croissante.

c) Espérance mathématique d’une variable aléatoire

Activité
9 boules numérotées de 1 à 9, indiscernables au toucher, sont placées dans une urne. On tire au hasard 2 boules avec remise et on fait la somme des numéros obtenus ; soit x cette  somme.
Si x < 5 on  perd 200f
Si 5 ≤ x < 8 on perd 100 f
Si 8 ≤ x < 12 on ne gagne ni ne perd rien
Si 12 ≤ x < 15 on gagne 100 f
Si  x ≥ 15 on gagne 200 f
1) Déterminer la loi de probabilité de X “somme d’argent  gagnée ou perdue”
2)  combien peut- on  espérer gagner (ou perdre) après 81 parties ?
Quel est le gain moyen par partie ?

Remarque : p(X=200) = p(X ≥ 15) ; p(X=100)= p (15 > X ≥ 12) ; P(X=0) = p(12 > X ≥ 8) ; p(X = -100) = p(8 > X ≥ 5) ; p(X = -200) = p(5 > X).
Puisque tirer les deux boules revient à former un couple de chiffres compris entre 1 et 9, on peut envisager le tableau suivant pour obtenir la loi de probabilité.

Au cours de la tentative on peut espérer gagner 10 fois 200 francs ; 18 fois 100 francs ; 32 fois 0 francs ou perdre 15 fois 100 francs ; 6 fois 200 francs.
Le gain espérer est de 200 \times 10 + 100 \times 18 = 0 \times 32 – 100 \times 15 – 200 \times 6 = 1100f
Le gain moyen par partie est de G= \dfrac{1100}{81}  =13,58 \text{francs}  environ.

Remarque : G=200 \times \dfrac{10}{81}   + 100 \times \dfrac{18}{81}  + 0 \times \dfrac{32}{81}  + (-100) \times \dfrac{15}{81}  + (-200) \times \dfrac{6}{81}
Ce gain moyen est l’espérance mathématique de X.

Définition
Soit X une variable aléatoire dont la loi de probabilité est p’. L’espérance mathématique de X est le réel E(X)= x_1p’(x_1) +x_2p’(x_2)+…. +  x_np’(x_n)

c. Variance, écart-type d’une variable  aléatoire.

Deux variable X et  Y ont les lois de probabilité suivantes :

Cependant ces deux variables semblent fort différentes : il suffit de comparer  leurs diagrammes.

Pour mesurer la façon dont la variable s’écarte de son espérance, on utilise la variable ou l’écart-type

Définition :Soit X une variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée par le tableau suivant :

Et soit E(X) son espérance mathématique. On appelle variance de X, le réel.
V(x) = p’(x_1-E(X))^2 + p’(x_2-E(x))^2 +…p’ (x_n –E(X))^2
On appelle écart type de X, le réel \sigma (X)= \sqrt{V(X)}

Propriété 
Soit X la variable aléatoire de la définition précédente,
on a V(X) = p’(x_1~^2) + p’(x_2~^2) +…+p’(x_n~^2)-[E(x)]^2

III. Combinaison

a) Définition

Soit un ensemble ayant n éléments et p \leq n;  une combinaison de p éléments de E est une partie de E ayant p éléments.

b) Nombre de combinaison :

Théorème

Le nombre de combinaison de p éléments d’un ensemble  à n éléments est :
C_n^p = \dfrac{A_n^p}{p!} = \dfrac{n!}{(n-p)!p!} = \dfrac{n(n-1)...(n-p+1)}{p!}

Propriété

C_n^0 = 1 \\ C_n^1 = n \\ C_n^n = 1 \\ C_n^p + C_n^{p+1} = C_{n+1}^{p+1}

Développement de Newton

On montre que quels que soient a, b réels, et n \in \N
(a+b)^n = C_n^0 a^n b^0 + C_n^1 a^{n-1} b^1 + C_n^2 a^{n-2} b^2 + ... + C_n^p a^{n-p} b^p +... + C_n^n a^0 b^n