Les limites – Tle

Propriété 

Dans ce chapitre les calculs sont fait dans  \R \cup \lbrace -\infty ~;~ +\infty \rbrace. Ainsi :
\forall ~a \in \R, \\ \bullet ~~ \dfrac{a}{\infty} = 0 ~;~ \\ \bullet ~~ \pm a + \infty = \infty ~;~ \\ \bullet ~~ \infty + \infty = \infty ~;~ \\ \bullet ~~ a \times \infty = \infty ~;~ \\ \bullet ~~ \infty \times \infty = \infty

Mais attention : \dfrac{\infty}{\infty} = \infty \times 0 = \dfrac{0}{0} = \dfrac{\infty}{0} = \infty - \infty = F.I .  Si tel est le cas il faut donc lever l’indétermination en transformant par des outils mathématiques l’écriture de la fonction dont on calcul la limite.

Définition 

Soit f une fonction définie dans un voisinage de a et non nécessairement en a.
Dire que f admet une limite en a, signifie que l’on peut transformer si nécessaire l’écriture de f(x) de manière à pouvoir calculer f(a). f(a) est alors cette limite.

Propriété 

Soit f une fonction définie dans un voisinage de a et non nécessairement en a. La limite de f en a qu’on note :  \lim\limits_{x \rightarrow a}f est :
\lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) = f(a).

1. Si a \in D_f     
2. Si f n’est pas définie en a :
   On calcul la limite à gauche et la limite à droite de f en a. Et si la limite à gauche est  égale à la limite à droite qui égale à l alors on dit que \lim\limits_{x \rightarrow a}f(x)=l
   l est ainsi appelé prolongement par continuité de f en a.
3. Si la limite à gauche n’est pas égale à la limite à droite on dit que f n’admet pas de limite en a.

Propriété : La limite lorsqu’elle existe est unique.

Propriété : (Algèbre des limites)

1. \lim\limits (f + g) = \lim\limits  f + \lim\limits g
2. \lim\limits (f \times g) = \lim\limits f \times \lim\limits g
3. \lim\limits k \in ℝ = k
4. \lim\limits ( \dfrac{f}{g} ) = \dfrac{\lim\limits f}{\lim\limits g}
5. Si \lim\limits_{x \rightarrow a}f(x) = b et \lim\limits_{x \rightarrow b}g(x) = l, Donc \lim\limits_{x \rightarrow a}g \circ f(x) = l

Propriété : (Théorème de comparaison)

Soient f et g deux fonctions définies sur un même intervalle de la forme [b ~;~ +\infty [.

1.   Si pour tout x \in ~[b ~;~+\infty [ ,~ f(x) ≥ g(x) et si \lim\limits_{x \rightarrow +\infty}g(x)=+\infty
   Alors : \lim\limits_{x \rightarrow +\infty}f(x)=+\infty
2.  Si pour tout x \in~ ]- \infty ~;~b],~   f(x) ≤ g(x) et si \lim\limits_{x \rightarrow -\infty}g(x)=-\infty
   Alors : \lim\limits_{x \rightarrow -\infty}f(x)=-\infty

Propriété : (Théorème des gendarmes)

Soit l \in ℝ \cup \lbrace -\infty ~;~+\infty \rbrace. Si pour tout x \in [b ~;~ +∞ [, h(x) ≤  f(x) ≤  g(x).
Si \lim\limits_{x \rightarrow +\infty}g(x)=l et \lim\limits_{x \rightarrow +\infty}h(x)=l,    
Alors : \lim\limits_{x \rightarrow +\infty}f(x)=l.

Propriété : (Limites de fonctions références)

\lim\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1~ ; ~~\lim\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{\tan x}{x} = 1~ ; ~~\lim\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{1 - \cos x}{x} = 1.

Propriété : La limite d’un polynôme à l’infini est égale à la limite du monôme de plus haut degré.

Propriété : La limite d’un quotient de polynôme à l’infini est égale à la limite du quotient de monôme de plus haut degré.

Propriété : (interprétation graphique de la limite)

1.  Si \lim\limits_{x \rightarrow a}f(x)=\infty ; alors la droite d’équation  x = a est asymptote à (C_f).
2.  Si \lim\limits_{x \rightarrow \infty}f(x)=a ; alors la droite d’équation  y = a est asymptote à (C_f)).
3.  Si \lim\limits_{x \rightarrow \infty}f(x)-(ax+b)=0 ; alors la droite d’équation  y = ax + b  est asymptote à (C_f).
4. Si \lim\limits_{x \rightarrow \infty}f(x)-g(x)=0 ; alors (C_f) et (C_g) ont un comportement asymptotique à l’infini.