Corrigés - Statistiques - Tle

Exercice 1

Remarque
L’effectif total est 8 par conséquent le nuage de points sera composé de 8 points dont les coordonnées sont respectivement : (1 ; 7) , (4 ; 8) , (6 ; 8,9) , (9 ; 10,1) , (12 ; 12) , (14 ; 13) , (16 ; 13,5) , (18 ; 15,5)

Exercice 2

1.a) Déterminons les coordonnées des points moyens $G_1$ et $G_2$
– Les coordonnées du point moyen $G_1$
$x_{G1} = \dfrac{\sum n_i x_i}{N} = \dfrac{3+4+6+8+9}{5} = \dfrac{30}{5} = 6 \\ ~~ \\ y_{G1} = \dfrac{\sum n_i y_i}{N} = \dfrac{2+3+4+6+5}{5} = \dfrac{20}{5} = 4$
les coordonnées du point moyen $G_1$ sont (6 ; 4)

– Les coordonnées du point moyen $G_2$
$x_{G2} = \dfrac{\sum n_i x_i}{N} = \dfrac{11+12+15+17+20}{5} = \dfrac{75}{5} = 15 \\ ~~ \\ y_{G2} = \dfrac{\sum n_i y_i}{N} = \dfrac{8+10+12+13+17}{5} = \dfrac{60}{5} = 12$
les coordonnées du point moyen $G_2$ sont (15 ; 12)

b) Traçons la droite $(D)$ d’justement par la méthode de Mayer
( Voir à la fin de l’exercice )

2.a) Déterminons les coordonnées du point moyen $G$ du tableau initial
$x_G = \dfrac{x_{G1} + x_{G2}}{2} = \dfrac{6+15}{2} = 10,5 \\ ~~ \\ y_{G} = \dfrac{y_{G1} + y_{G2}}{2} = \dfrac{4+12}{2} = 8$
les coordonnées du point moyen $G$ sont (10,5 ; 8)

Remarque :
On peut aussi procéder comme suite
$x_{G} = \dfrac{\sum n_i x_i}{N} = \dfrac{3+4+6+8+9+11+12+15+17+20}{10} = \dfrac{105}{10} = 10,5 \\ ~~ \\ y_{G} = \dfrac{\sum n_i y_i}{N} = \dfrac{2+3+4+6+5+8+10+12+13+17}{10} = \dfrac{80}{10} = 8$

b) Vérifions que le point moyen $G$ appartient à la droite $(D)$
Il suffit de vérifier que $y_G = \dfrac{8}{9} x_{G} -\dfrac{4}{3}$

\dfrac{8}{9} x_{G} -~\dfrac{4}{3} = \dfrac{8}{9} \times 10,5 ~-~ \dfrac{4}{3} \\ ~~ \\ = \dfrac{84}{9} ~-~ \dfrac{4}{3} = \dfrac{84}{9} ~-~ \dfrac{12}{9} \\ ~~ \\ = \dfrac{72}{9} = 8 = y_G

On déduit donc que : $y_G = \dfrac{8}{9} x_{G} -\dfrac{4}{3}$
Par conséquent le point moyen $G$ appartient à la droite $(D)$

3. Déterminons le pourcentage d’hommes atteints de paludisme si le pourcentage des femmes atteintes par cette maladie est 25%
Si le pourcentage des femmes atteintes par le paludisme est 25% alors X = 25, déterminons donc la valeur de Y.
$y = \dfrac{8}{9} x -\dfrac{4}{3} \Rightarrow y = \dfrac{8}{9} \times 25 ~-~ \dfrac{4}{3} \\ ~~ \\ \Rightarrow y = \dfrac{200}{9} ~-~ \dfrac{4}{3} \\ ~~ \\ \Rightarrow y = \dfrac{200}{9} ~-~ \dfrac{12}{9} \\ ~~ \\ \Rightarrow y = \dfrac{188}{9} = 20,88$

Si le pourcentage des femmes atteintes par le paludisme est 25%, alors le pourcentage d’hommes atteints par cette maladie est 20,88%.

La droite (D) d’justement par la méthode de Mayer est la droite qui passe par les points $G_1$ et $G_2.$

Exercice 3

1) Représentons le nuage de points de cette série statistique double
(Voir le schéma à la fin de l’exercice)

2) Calculons les coordonnées du point moyen G
$x_{G} = \dfrac{\sum n_i x_i}{N} = \dfrac{10+12+14+17+18+19}{6} = \dfrac{90}{6} = 15 \\ ~~ \\ y_{G} = \dfrac{\sum n_i y_i}{N} = \dfrac{29+32+35+37+39+44}{6} = \dfrac{216}{6} = 36$
les coordonnées du point moyen $G$ sont (15 ; 36)

3.a) Justifions qu’une équation de la droite d’ajustement linéaire par la méthode de Mayer est : $y=\dfrac{4}{3}x + 16$
Partageons le tableau en deux tableaux T₁ et T₂ de même effectif, puis déterminons les coordonnées de leurs points moyens respectifs G₁ et G₂.
La droite d’ajustement linéaire par la méthode de Mayer est la droite (G₁G₂), en d’autres termes la droite qui passe par les points G₁ et G₂.

– Les coordonnées du point moyen $G_1$
$x_{G1} = \dfrac{\sum n_i x_i}{N} = \dfrac{10+12+14}{3} = \dfrac{36}{3} = 12 \\ ~~ \\ y_{G1} = \dfrac{\sum n_i y_i}{N} = \dfrac{29+32+35}{3} = \dfrac{96}{3} = 32$
les coordonnées du point moyen $G_1$ sont (12 ; 32)

– Les coordonnées du point moyen $G_2$
$x_{G2} = \dfrac{\sum n_i x_i}{N} = \dfrac{17+18+19}{3} = \dfrac{54}{3} = 18 \\ ~~ \\ y_{G2} = \dfrac{\sum n_i y_i}{N} = \dfrac{37+39+44}{3} = \dfrac{120}{3} = 40$
les coordonnées du point moyen $G_2$ sont (18 ; 40)

Déterminons l’équation de la droite qui passe par les points $G_1$ et $G_2$
L’équation de cette droite est de la forme $y=ax+b$ avec
$a = \dfrac{\overline{y}_{G2} ~-~ \overline{y}_{G1}}{\overline{x}_{G2} ~-~ \overline{x}_{G1}}~~$ et $~~ b= \overline{y}_{G1} ~-~ a \times \overline{x}_{G1}$

$a = \dfrac{32-40}{12-18} = \dfrac{-8}{-6} = \dfrac{4}{3}$

$b = 32 ~-~ \dfrac{4}{3} \times 12 = 32-16 = 16$
On conclut donc qu’une équation de la droite d’ajustement linéaire par la méthode de Mayer est $y=\dfrac{4}{3}x + 16$

b) Vérifions que le point moyen G appartient à la droite (D)
Il suffit de vérifier que $y_G=\dfrac{4}{3}x_G + 16$

$\dfrac{4}{3} x_{G} +~16 = \dfrac{4}{3} \times 15 ~+~ 16 \\ = 20+16 = 36 = y_G$
On déduit donc que : $y=\dfrac{4}{3}x + 16$
Par conséquent le point moyen G appartient à la droite (D)

c) Représentation graphique de la droite (D)
Voir le schéma à la fin de l’exercice

4) Déterminons graphiquement le chiffre d’affaires de cette société si elle ouvre quatre nouveaux points de vente.
Si la société ouvre quatre nouveaux points de vente alors elle aura en tout 23 points de vente. Ces 23 points de vente correspondent à la valeur $x_i~$ ;
Graphiquement la valeur de $y_i$ est d’environ 46,60.

5) Déterminons par le calcul le chiffre d’affaires de cette société si elle ouvre quatre nouveaux points de vente.
Si la société ouvre quatre nouveaux points de vente alors elle aura en tout 23 points de vente. Ces 23 points de vente correspondent à la valeur $x_i$ ; déterminons donc la valeur de $x_i$ .
$y=\dfrac{4}{3}x + 16 \Rightarrow y=\dfrac{4}{3} \times 23 + 16 \\ \Rightarrow y = 30,66 + 16 \\ \Rightarrow y = 46,66$
Si la société ouvre quatre nouveaux points de vente alors le chiffre d’affaires serait de 46,66 millions de francs

6) Déterminons graphiquement, le nombre de points de vente nécessaire pour atteindre un chiffre d’affaires de 50 millions de francs.
Pour atteindre un chiffre d’affaires de 50 millions, graphiquement la société doit avoir 26 points de vente.

Remarque :
Pour un chiffre d’affaires de 50 millions, graphiquement la société doit avoir 25,5 points de vente. On arrondi donc cette valeur à 26.

Exercice 4

1) Représentons le nuage de points associé à la série statistique double
Voir la figure à la fin de l’exercice

2) Calculons les coordonnées du point moyen G
$x_{G} = \dfrac{\sum n_i x_i}{N} = \dfrac{1+2+3+4+5+6}{6} = \dfrac{21}{6} = 3,5 \\ ~~ \\ y_{G} = \dfrac{\sum n_i y_i}{N} = \dfrac{75+77+77,3+78,2+79,3+80}{6} = \dfrac{466,8}{6} = 77,8$
les coordonnées du point moyen $G$ sont (3,5 ; 77,8)

3.a) Calculons les coordonnées des points moyens G₁ et G₂

– Calculons les coordonnées du point moyen $G_1$
$x_{G1} = \dfrac{\sum n_i x_i}{N} = \dfrac{1+2+3}{3} = \dfrac{6}{3} = 2 \\ ~~ \\ y_{G1} = \dfrac{\sum n_i y_i}{N} = \dfrac{75+77+77,3}{3} = \dfrac{229,3}{3} = 76,4$
les coordonnées du point moyen $G_1$ sont (2 ; 76,4)

– Les coordonnées du point moyen $G_2$
$x_{G2} = \dfrac{\sum n_i x_i}{N} = \dfrac{4+5+6}{3} = \dfrac{15}{3} = 5 \\ ~~ \\ y_{G2} = \dfrac{\sum n_i y_i}{N} = \dfrac{78,2+79+3+80}{3} = \dfrac{237,5}{3} = 79,2$
les coordonnées du point moyen $G_2$ sont (5 ; 79,2)

b) Traçons la droite (D) de régression linéaire de Y en X par la méthode de Mayer
Voir la figure à la fin de l’exercice
c) Démontrons qu’une équation de la droite $(D)$ est : $y=0,93x+74,5$
La droite $(D)$ de régression linéaire de $Y$ en $X$ par la méthode de Mayer est la droite $(G_1G_2)$ , or une équation de cette droite est de la forme $y=ax+b$
avec $a = \dfrac{\overline{y}_{G2} ~-~ \overline{y}_{G1}}{\overline{x}_{G2} ~-~ \overline{x}_{G1}}~~$ et $~~b=\overline{y}_{G1} ~-~ a \times \overline{x}_{G1}$

$a = \dfrac{76,4-79,2}{2-5} = \dfrac{-2,8}{-3} = 0,93$

$b = 76,4-0,93 \times 12 = 76,4-1,86 = 74,54$
On conclut donc qu’une équation de la droite $(D)$ est : $y=0,93x+74,5$

4) Déterminons le taux d’adhésion de la MUCA en 2015.
En 2015 , la MUCA sera à sa 10^ème année , autrement dit $X = 10$ ; déterminons donc la valeur de $Y$
$y=0,93x + 74,5 \Rightarrow y=0,93 \times 10 + 74,5 \\ \Rightarrow y = 9,3 + 74,5 \\ \Rightarrow y = 83,8$
On conclut donc d’après l’ajustement réalisé, en 2015 la MUCA aura 83,8% de taux d’adhésion.

Exercice 5

Dans un exercice de statistique où on doit calculer l’une des valeurs suivantes :
V(X), V(Y) ou (COV(X ; Y), il est judicieux d’utiliser un tableau de calculs
Dressons un tableau de calculs

1) Calculons $\overline{x}$ et $\overline{y}$
$\overline{x} = \dfrac{\sum n_i x_i}{N} = \dfrac{37}{5} = 7,4 \\ ~~ \\ \overline{y} = \dfrac{\sum n_i y_i}{N} = \dfrac{31}{5} = 6,2$
Les coordonnées du point moyen $G$ sont (7,4 ; 6,2)

2- Calculons V(X), V(Y) ou (COV(X ; Y)
Calculons $V(X)$
$V(X) = \dfrac{\sum n_i x_i~^2}{N} ~-~ (\overline{x})^2 \\ ~~ \\ V(X) = \dfrac{303}{5} ~-~ (7,4)^2 \\ ~~ \\ V(X) = 60,6-54,76 = 5,84$

Calculons $V(Y)$
$V(Y) = \dfrac{\sum n_i y_i~^2}{N} ~-~ (\overline{y})^2 \\ ~~ \\ V(Y) = \dfrac{225}{5} ~-~ (6,2)^2 \\ ~~ \\V(Y) = 45-38,44 = 6,56$

Calculons $COV(X~,~Y)$
$COV(X,~Y) = \dfrac{\sum n_i x_i \times y_i}{N} ~-~ \overline{x} \times \overline{y} \\ ~~ \\ COV(X,~Y) = \dfrac{360}{5} ~-~ 7,4 \times 6,2 \\ ~~ \\ COV(X,~Y) = 52-45,88 = 6,12$

Exercice 6

Dressons le tableau de calculs

Remarque
La colonne des $x_i.y_i$ n’est pas utile puisqu’on ne demande pas de calculer la covariance de $X$ et de $Y$ $~(COV(X,~Y))$

Calculons $V(X)$
$V(X) = \dfrac{\sum n_i x_i~^2}{N} ~-~ (\overline{x})^2 \\ ~~ \\ V(X) = \dfrac{1385}{10} ~-~ (\dfrac{105}{10})^2 \\ ~~ \\ V(X) = 138,5 – (10,5)^2 = 138,5-110,25 = 28,25$

Calculons $V(Y)$
$V(Y) = \dfrac{\sum n_i y_i~^2}{N} ~-~ (\overline{y})^2 \\ ~~ \\ V(Y) = \dfrac{856}{10} ~-~ (\dfrac{80}{10})^2 \\ ~~ \\ V(X) = 85,6 – (8)^2 = 85,6-64 = 21,5$

Exercice 7

1) Déterminons les coordonnées du point moyen G
$x_{G} = \dfrac{\sum n_i x_i}{N} = \dfrac{1+2+3+4+5+6}{6} = \dfrac{21}{6} = 3,5 \\ ~~ \\ y_{G} = \dfrac{\sum n_i y_i}{N} = \dfrac{12+13+15+19+21+22}{6} = \dfrac{102}{6} = 17$
Les coordonnées du point moyen G sont (3,5 ; 17)

2) Représentons graphiquement le nuage de points de cette série statistique double ainsi que le point moyen G.
Voir la figure à la fin de l’exercice

3) Déterminons une équation de la droite (D) d’ajustement linéaire par la méthode de Mayer.
Partageons le tableau en deux tableaux $T_1$ et $T_2$ de même effectif, puis déterminons les coordonnées de leurs points moyens respectifs $G_1$ et $G_2$ .
La droite d’ajustement linéaire par la méthode de Mayer est la droite $(G_1G_2)$ , en d’autres termes la droite qui passe par les points $G_1$ et $G_2.$

– Calculons les coordonnées du point moyen $G_1$
$x_{G1} = \dfrac{1+2+3}{3} = \dfrac{6}{3} = 2 \\ ~~ \\ y_{G1} = \dfrac{12+13+15}{3} = \dfrac{40}{3} = 13,33$
les coordonnées du point moyen $G_1$ sont (2 ; 13,33)

– Calculons les coordonnées du point moyen $G_2$
$x_{G2} = \dfrac{4+5+6}{3} = \dfrac{15}{3} = 5 \\ ~~ \\ y_{G2} = \dfrac{19+21+22}{3} = \dfrac{62}{3} = 20,66$
les coordonnées du point moyen $G_2$ sont (5 ; 20,66)

Déterminons l’équation de la droite qui passe par les points $G_1$ et $G_2$
L’équation de cette droite est de la forme avec $y=ax+b$ avec
avec $a = \dfrac{\overline{y}_{G2} ~-~ \overline{y}_{G1}}{\overline{x}_{G2} ~-~ \overline{x}_{G1}}~~$ et $~~b=\overline{y}_{G1} ~-~ a \times \overline{x}_{G1}$

$a = \dfrac{20,66-13,33}{5-2} = \dfrac{7,33}{3} = 2,44$

$b = 13,33-2,44 \times 2 = 13,33-4,88 = 8,45$
On conclut donc qu’une équation de la droite d’ajustement linéaire par la méthode de Mayer est $y=2,44x+8,45$

4) Voir la figure à la fin de l’exercice

5) Donnons , en utilisant la droite $(D)$ , une estimation du chiffre d’affaires de cette pharmacie à la fin du 7^ème mois.
Remarque
Le mois correspond à $X$ le chiffre d’affaires correspond à $Y.$

On sait que $X=7$ , déterminons $Y$
$y=2,44x+8,45~~$ avec $x=7$
$y=2,44 \times 7+8,45~~$
$y=17,08 + 8,45$
$y=25,53$
à la fin du 7^ème mois , le chiffre d’affaires de cette pharmacie est estimé à 25,53 millions

6) Complétons le tableau de calculs

7) Vérifions les résultats suivants :
$V(X) = \dfrac{35}{12}~~;~~COV(X,~Y)=\dfrac{13}{2}$

Calculons $V(X)$
$V(X) = \dfrac{\sum n_i x_i~^2}{N} ~-~ (\overline{x})^2 \\ ~~ \\ V(X) = \dfrac{91}{6} – (\dfrac{21}{6})^2 \\ ~~ \\ V(X) = \dfrac{91}{6} ~-~\dfrac{441}{36} \\ ~~ \\ V(X) = \dfrac{105}{36} = \dfrac{35}{12}$

Calculons $COV(X,~Y)$
$COV(X,~Y) = \dfrac{\sum n_i x_i \times y_i}{N} ~-~ \overline{x} \times \overline{y} \\ ~~ \\ COV(X,~Y) = \dfrac{396}{6} ~-~ \dfrac{21}{6} \times \dfrac{102}{6} \\ ~~ \\ COV(X,~Y) = 66~ – ~\dfrac{7}{2} \times 17 \\ ~~ \\ COV(X,~Y) = 66 ~- ~\dfrac{119}{2} = \dfrac{13}{2}$

8) Justifions qu’une équation de la droite de régression de $Y$ en $X$ par la méthode des moindres carrées est : $y=2,23x+9,2$
L’équation de la droite de régression de $Y$ en $X$ par la méthode des moindres carrées est de la forme $y=ax+b$ avec
$a \dfrac{COV(X,~Y)}{V(X)}~~$ et $~b= \overline{y} – a \overline{x} ~;$ ; où $\overline{x}$ et $\overline{y}$ sont les coordonnées du point moyen $G.$

$a = \dfrac{~~\dfrac{12}{2}~~}{\dfrac{35}{12}} \\ ~~\\ a = \dfrac{13}{2} \times \dfrac{12}{35} = 2,228 = 2,23$

$b = 17-2,23 \times 3,5 \\ b = 17-7,805 = 9,195 = 9,2$

On déduit donc qu’une équation de la droite de régression de $Y$ en $X$ par la méthode des moindres carrées est : $y=2,23x+9,2$

Exercice 8

1.a) Représentons le nuage de points de la série statistique de caractère $(X;~Y)$
( Voir à la fin de l’exercice )
b) Un ajustement linéaire semble justiciable car les points du nuage semblent alignés

2) Calculons le coefficient de corrélation linéaire $r$
Le coefficient de corrélation linéaire $r$ est défini par $r = \dfrac{COV(X,~Y)}{\sqrt{V(X) \times V(Y)}}$
Calculons d’abord $V(X)$ , $V(X)$ et $COV(X,~Y)$
Dressons un tableau de calculs

Calculons $V(X)$
$V(X) = \dfrac{\sum n_i x_i~^2}{N} ~-~ (\overline{x})^2 \\ ~~ \\ V(X) = \dfrac{20180415}{5} – (\dfrac{10045}{5})^2 \\ ~~ \\ V(X) = 4036083-2009^2 = 4036083 – 4036081 \\ ~~ \\ V(X) = 2$

Calculons $V(Y)$
$V(Y) = \dfrac{\sum n_i y_i~^2}{N} ~-~ (\overline{y})^2 \\ ~~ \\ V(Y) = \dfrac{29105,5}{5} ~-~ (\dfrac{381}{5})^2 \\ ~~ \\ V(X) = 5821,1-(76,2)^2 = 5821,1-5806,44 \\ ~~ \\ V(Y) = 14,66$

Calculons $COV(X,~Y)$
$COV(X,~Y) = \dfrac{\sum n_i x_i \times y_i}{N} ~-~ \overline{x} \times \overline{y} \\ ~~ \\ COV(X,~Y) = \dfrac{765402}{5} ~-~ \dfrac{10045}{5} \times \dfrac{381}{5} \\ ~~ \\ COV(X,~Y) = 153080,4 – 2009 \times 76,2 \\ ~~ \\ COV(X,~Y) = 153080,4-153085,8 \\ ~~ \\ COV(X,~Y) = -5,4$

Calculons le coefficient de corrélation linéaire $r$
$r = \dfrac{COV(X,~Y)}{\sqrt{V(X) \times V(Y)}}$

$r = \dfrac{-5,4}{\sqrt{2 \times 14,66}}$

$r = \dfrac{-5,4}{\sqrt{29,32}}$

$r = -0,997$

Comme $0,87 \leq |r| \leq 1$ ; c’est-à-dire $r$ est très proche de $1$ alors on peut affirmer qu’il y a une bonne corrélation ( ou une forte corrélation ) entre les deux variables $X$ et $Y$

3.a) Trouvons une équation de la droite (D) de régression de $Y$ en $X$ par la méthode des moindres carrées.
L’équation de la droite de régression de $Y$ en $X$ par la méthode des moindres carrées est de la forme $y=ax+b$ avec
$a = \dfrac{COV(X,~Y)}{V(X)}~~$ et $~b= \overline{y} – a \overline{x} ~;$ ; où $\overline{x}$ et $\overline{y}$ sont les coordonnées du point moyen $G.$

$a = \dfrac{-5,4}{2} ~=~ -2,7$

$b = \dfrac{381}{5}~-~(-2,7) \times \dfrac{10045}{5} \\ b = 76,2 + 2,7 \times 2009 = 5500,5$

On déduit donc qu’une équation de la droite de régression $Y$ de $X$ en par la méthode des moindres carrées est : $y=-2,7x + 5500,5$
b) Voir la figure

4.a) Estimation de la quantité de riz importé en 2012
Pour $x=2012$ déterminons la valeur de $y$
$y=-2,7x+5500,5$ ; avec $x=2012$
$y=-2,7 \times 2012 +5500,5$
$y=68,1$
On estime à 68,1 tonnes la quantité de riz à importer en 2012
b) Par lecture graphique 68 tonnes, on estime à la quantité de riz à importer en 2012

5) Déterminer l’année où la ville va cesser d’importer du riz
Lorsque la ville va cesser d’importer du riz alors $y=0$
Pour $y=0$ on a :
$-2,7x+5500,5=0$
$x = \dfrac{5500,5}{2,7} \\ x=2037,22$
C’est donc en 2038 que la ville va cesser d’importer du riz

Exercice 9

1) Représentons le nuage de points associé à la série statistique double (X ; Y)

2) Calculons les coordonnées du point moyen $G$
$x_{G} = \dfrac{\sum n_i x_i}{N} = \dfrac{1+2+3+4+5+6}{6} = \dfrac{21}{6} = 3,5 \\ ~~ \\ y_{G} = \dfrac{\sum n_i y_i}{N} = \dfrac{75+77+77,3+78,2+79,3+80}{6} = \dfrac{466,8}{6} = 77,8$
les coordonnées du point moyen G sont (3,5 ; 77,8)

3.a) Justifions que $COV(X;~Y)=2,7~~$ , $~~V(X)=2,9~~$ et $~~V(Y)=2,9$
Dressons un tableau de calculs

Calculons $COV(X,~Y)$
$COV(X,~Y) = \dfrac{\sum n_i x_i y_i}{N} ~-~ \overline{x} \times \overline{y} \\ ~~ \\ COV(X,~Y) = \dfrac{1650,2}{6} ~-~3,5 \times 77,8 \\ ~~ \\ COV(X,~Y) = 275,03 – 272,3 \\ ~~ \\ COV(X,~Y) = 2,73 = 2,7$

Calculons $V(X)$
$V(X) = \dfrac{\sum n_i x_i~^2}{N} ~-~ (\overline{x})^2 \\ ~~ \\ V(X) = \dfrac{91}{6} – (3,5)^2 \\ ~~ \\ V(X) = 15,16 – 12,25 \\ ~~ \\ V(X) = 2,91 = 2,9$

Calculons $V(Y)$
$V(Y) = \dfrac{\sum n_i y_i~^2}{N} ~-~ (\overline{y})^2 \\ ~~ \\ V(Y) = \dfrac{36333,02}{6} ~-~ (77,8)^2 \\ ~~ \\ V(X) = 6055,50- 6052,84 \\ ~~ \\ V(Y) = 2,66 = 2,7$

b) Calculons l’arrondi d’ordre 2 du coefficient de corrélation linéaire entre X et Y.
$r = \dfrac{COV(X,~Y)}{\sqrt{V(X) \times V(Y)}}$

$r = \dfrac{2,7}{\sqrt{2,9 \times 2,7}}$

$r = \dfrac{2,7}{\sqrt{7,83}}$

$r = -0,96$

c) Comme $0,87 \leq r \leq 1$ alors il y a une forte corrélation linéaire entre l’âge de la mutuelle et le taux global d’adhésion

4.a) Justifions qu’une équation de la droite $(D)$ de régression de $Y$ en $X$ est :
$(D) : y=0,9x + 74,7$
L’équation de la droite de régression de $Y$ en $X$ par la méthode des moindres carrées est de la forme $y = ax+b$ avec
$a \dfrac{COV(X,~Y)}{V(X)}~~$ et $~b= \overline{y} – a \overline{x} ~;$ ; où $\overline{x}$ et $\overline{y}$ sont les coordonnées du point moyen $G.$

$a = \dfrac{2,7}{2,9} = 0,93 = 0,9$

$b = 77,8-0,9 \times 3,5 \\ b = 77,8-3,15 \\ b = 74,65 = 74,7$
On déduit donc qu’une équation de la droite de régression de $Y$ en $X$ par la méthode des moindres carrées est : $y=0,9x+74,7$
b) Voir la figure

5) Déterminons le taux d’adhésion de la MUCA en 2015
correspond à la 10^ème année d’existence de la MUCA
donc $x=10$ (2015 – 2005 = 10)
Déterminons $y$
Pour $x=10$ on a :
$y=0,9 \times 10 + 74,7$
$y=9 + 74,7$
$y=83,7$
Selon l’ajustement réalisé, on estime à le taux d’adhésion de la MUCA en 2015