Corrigé Sujet Bac 4 – Tle L

Exercice 1

1.a) Nombre de tirages possibles
card \Omega=C_{12}^3=220~tirages possibles
b)Calcul de p(A) et de p(B).
p(A)=\dfrac{card~A}{card~\Omega}=\dfrac{C_3^1 \times C_5^1 \times C_4^1}{200}

p(A)=\dfrac{60}{220}=\dfrac{3}{11}

p(B)=\dfrac{card~B}{card~\Omega}=\dfrac{C_3^3 \times C_5^3 \times C_4^3}{200}

p(B)=\dfrac{15}{220}=\dfrac{3}{44}

2)a. Valeurs prises par la variable X
Ce sont les valeurs 0 ; 1 ; 2 et 3.
b) Loi de probabilité de X

c)Espérance mathématique.
E(X)=0 \times \dfrac{84}{220}+1\times \dfrac{108}{220}+2 \times \dfrac{27}{220}+3\times \dfrac{1}{220}

E(X)=\dfrac{165}{220}=\dfrac{3}{4}

Exercice 2

1)a) Développement et réduction de p(x).
p(x)=2(x-\tfrac{1}{2})(x+3) \\ p(x)=2x^2+6x-x-3 \\ p(x)=2x^2+5x-3
b) Solution de l’équation 2x^2+5x-3=0
2x^2 + 5x -3=0 \\ \Leftrightarrow 2(x-\dfrac{1}{2})(x+3) = 0 \\ \Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2} ou x=-3

S_\Psi = \lbrace -3 ; \dfrac{1}{2} \rbrace

2) Soit l’équation
2e^x+5-3e^{-x}=0(1)
a) Pour tout x \in \Psi; ~on a~e^x \not=0~d’où (2) devient :
~e^x(2e^x+5-3e^{-x})=0 \\ \Harr 2e^{2x}+5e^x-3=0
b) Résolution de l’équation (2)
2e^{2x}+5e^x-3=0
Posons X=e^x;~on a :
2X^2+5X-3=0~et d’après la réponse à la question 1)b); x=3~ou~x=\dfrac{1}{2}
comme X=e^x, on a donc~e^x=-3~ou~e^x=\dfrac{1}{2}
Or~\forall~~ x \in \Psi;e^x>0~donc :
e^x=\dfrac{1}{2} \Harr x =\ln \dfrac{1}{2}=-\ln 2~
d’où~S_{\Psi}=\lbrace -\ln 2 \rbrace

3) Résolution de l’inéquation :
2(\ln x)^2+5\ln x-3=0
Posons X=\ln x.
On a: 2X^2+5X-3=0~et d’après la réponse à la question 1)b);X=-3~ou~X=\dfrac{1}{2}

Comme X= \ln x,~on a donc
~\ln x=-3~ ou ~\ln x=\dfrac{1}{2} \\ \Harr x=e^{-3}~ou~x=e^{\tfrac{1}{2}}

d’où S_{\Psi}=\lbrace e^{3};e^{\frac{1}{2}} \rbrace

Problème

Soit f(x)=2x \ln x-4x
Domaine d’étude D_E=[1;+\infty[
1) Calcul de limite de f.
\lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}}f(x)=\lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}} 2x\ln x-4x \\ =\lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}}2x(\ln x-2) \\ =(+\infty-2) \\ =+\infty

2.a) Calcul de f’(x) et étude de son signe.
F est dérivable sur D_E~et~\forall ~~ x \in D_E; \\ f'(x)=2(\ln x+\dfrac{1}{x}\times x)-4 \\ =2(-1+\ln x).

Signe de f’(x).
f'(x) \geq 0 \\ \Harr 2(-1+\ln x) \geq 0 \\ \Harr x \geq e
Ainsi ; pour x \in [1;e];~f'(x) \leq 0~et pour~x \in [e;+\infty[;f'(x)\geq 0

b) Sens de variation de f.
Pour x \in [1 ;e] ; \\ f’(x)\leq 0~ donc~ f~est décroissante sur~ [1 ;e]
Pour x \in [e ;+\infty[ ; \\ f’(x)\geq 0~ donc~ f~est croissante sur~ [e ;+\infty[

c) Tableau de variation

3) Coordonnées du point d’intersection A
(C_f)\cap (0x)\implies \begin{cases}y=0 \\ f(x)=0\end{cases}
f(x)=0 \\ \Harr 2x\ln x-4x=0 \\ \Harr 2x(\ln x-2)=0
On trouve x=0~ou~x=e^2~or~0 \notin D_E~ d’où~ A(e^2;0)

4) Equation de la tangente (T).

(T):y=f'(e^2)(x-e^2)+f(e^2)
(T):y=2x-2e^2

5) Représentation graphique