Corrigé Sujet Bac 5 – Tle L

Exercice 1

1.a) Montrer que (v_n) est une suite géométrique
on a:

Donc (v_n) est une suite géométrique de raison q=\dfrac{1}{6} et de premier terme
v_0=3+5u_0=3+5 \times \dfrac{3}{5}=6

b) Expression de v_n en fonction de n.
v_n=v_0q^n=6(\dfrac{1}{6})^n
Expression de u_n en fonction de n.
V_n=3+5u_n~
donc~u_n=\dfrac{v_n-3}{5}=\dfrac{6(\dfrac{1}{6})^n-3}{5}

2) Convergence de u_n ~et~ v_n
\lim\limits_{\substack{n\rightarrow +\infty}}u_n=-\dfrac{3}{5}~et~\lim\limits_{\substack{n\rightarrow +\infty}} v_n=0~donc~u_n ~et~ v_n~sont convergentes et convergent respectivement vers -\dfrac{3}{5}~et~0

3)a) Calcul de S_n ~et de~ S’_n

On a : v_n = 3+5u_n
donc u_n = \dfrac{v_n -3}{5}=\dfrac{1}{5}v_n -\dfrac{3}{5}
Ainsi :

b) Calcul de limite.
\lim\limits_{\substack{n\rightarrow +\infty}}S_n=\dfrac{36}{5}~
car~\lim\limits_{\substack{n\rightarrow +\infty}}(\tfrac{1}{6})^{n+1}=0

Exercice 2

1.a) La population étudiée est : les malades du sida
b) L’effectif est 250
c) La classe modale est [20;30[
d) Le caractère étudié est qualitatif

2) La fréquence de la classe [20;30[ est \dfrac{100}{250}=0,4 ou 40\%

3)a) Pourcentage des malades de moins de 30 ans est :
\dfrac{(20+40+100)}{200}\times 100=64\%
b) Voir tableau

c) La moyenne de série statistique
\overline{x} = \dfrac{5\times 20 +15\times 40 +25\times100+35\times60+45\times20+55\times10}{250} \\ \overline{x} = 27

Problème

1)a) Montrons que pour tout réel x,
f(x)=e^{-x}(1-e^{-x})
On a ; pour tout réel x; \\ e^{-x}-e^{-2x} =e^{-x}-e^{-x}\times e^{-x} \\=e^{-x}(1-e^{-x})
donc pour tout réel x,\\f(x)=e^{-x}(1-e^{-x})

b)

2.a)

b) \lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}}f(x)=0~donc l’axe des abscisses est une asymptote à (C) au voisinage de +\infty.

3.a) Signe de -1+2e^{-x} ~sur~ \R
On a -1+2e^{-x}\geq 0\\ \implies e^{-x}\geq \dfrac{1}{2}\\ \implies -x \geq \ln (\dfrac{1}{2}) \\ \implies -x \geq -\ln(2)\\ \implies x \leq \ln (2)

Ainsi pour x \in ~~]-\infty;0]; \\ -1+2e^{-x}\geq 0~
et pour tout~x \in~ [0;+\infty[; \\ -1+2e^{-x}\leq 0

b) Calcul de f'(x).
f est dérivable sur \R~
et~f'(x)=(-1+2e^{-x})e^{-x}

Signe de f'(x).
\forall ~~x \in \R;e^{-x}>0~donc le signe de~f'(x)~est celui de~-1+2e^{-x}

Or d’après 3)a) ,pour x \in ~]-\infty;0]; \\ -1+2e^{-x}\geq 0~
et pour~x \in ~[0;+\infty[ ; \\-1+2e^{-x}\leq 0~ c’est-à-dire pour~ x \in ~]-\infty;0] ; \\ f'(x)\geq 0~et pour~ x \in ~[0;+\infty[ ; \\f'(x)\leq 0

On conclut que f est croissante sur ]-\infty;0] ~et décroissante sur~ [0;+\infty[

Tableau de variation
Calculons d’abord f(\ln2)
f(\ln 2)=\dfrac{1}{4}

4)a) Coordonnées de A.

On a: (C)\cap(y=x)=\lbrace A(x;0) \rbrace ~donc on résout~f(x)=0
f(x)=0 \\ \Harr e^{-x}(1-e^{-x})=0 \\ \Harr x=0~d’où~A(0;0)

b) Equation de la tangente.
(T):y=f'(0)(x-0)+f(0)
f'(0)=1~et~f(0)=0~donc~(T):y=x