3 : Etude des fonctions numériques – Tle L

I. Rappels : Elément de symétrie d’une courbe

• Dans un repère orthonormé, la courbe représentative d’une fonction paire admet l’axe des ordonnées comme axe de symétrie.
• Dans un repère orthogonal, la courbe représentative d’une fonction impaire admet l’origine du repère comme centre de symétrie.

Remarques

La courbe représentative d’une fonction f qui n’est ni paire ni impaire peut admette un axe ou un centre de symétrie . Pour déterminer l’un ou l’autre des éléments de symétrie Il est parfois nécessaire d’effectuer un changement de repère de sorte que l’équation de la courbe de f dans ce nouveau repère soit de la forme y=g(x) ou g est une fonction paire ou impaire.

Cas particuliers

• Dans un repère orthonormé, la courbe représentative d’une fonction polynôme f de degré2 admet la droite d’équation y=x₀ où x₀ est le réel tel que f’(x₀)=0 comme axe de symétrie.
• Dans un repère orthonormé, la courbe représentative d’une fonction polynôme f de degré 3 admet le point  d’abscisse x_o  telle que f(x) + f(2x_o-x) = o comme centre de symétrie.

II) Plan d’étude d’une fonction

L’étude d’une fonction s’effectue suivant le plan ci-dessous :

1. On détermine lorsqu’il n’est pas explicitement donné, l’ensemble de définition de la fonction
2. On étudie éventuellement la parité de la fonction et on en déduit les éléments de symétrie (centre de symétrie, axe de symétrie) de la courbe
3. On calcule les limites de la fonction aux bornes des intervalles de son ensemble de définition
4. On détermine la fonction dérivée de la fonction ; on étudie le signe de cette fonction dérivée et en déduit le sens de variation de la fonction
5. On dresse le tableau de variation de la fonction
6. On précise les asymptotes éventuelles de la courbe
7. On construit soigneusement la courbe représentative de la fonction. A cet effet, on place si possible quelques points particuliers (extrema, intersection avec les axes de coordonnées …) et on trace les asymptotes et les tangentes horizontales éventuelles.