Exercices – Fonction logarithme népérien – Tle L

Exercice 1

Résoudre dans \R les équations suivantes :
1) \ln x^2=1;
2) 2\ln x=1;
3) \ln(x+2)-\ln(x-1)=2

Exercice 2

1) Résoudre dans \R ~ \\ \ln(3x^2-x)\leq \ln x+\ln 2

2) Résoudre dans \R \times \R~ \\ \begin{cases} x+y=3 \\ \ln x +\ln y= \ln 2\end{cases}

Exercice 3

Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie par :
f(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{\ln x}{x}

On note (C) la courbe représentative de f dans un plan rapporté à un repère orthonormé (O,\vec{i},\vec{j}) (Unité =2cm)

1.a) Quel est l’ensemble de définition D de f ?
b) Vérifier que pour tout x de D ;
f(x)=\dfrac{1}{x}(1+\ln x) puis en déduire \lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0^+}}f(x)
c) En admettant que : \lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}}\dfrac{\ln x}{x}=0,
préciser ~\lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}}f(x)
d) En déduire les asymptotes à (C).

2.a) Calculer f’(x) et étudier son signe.
b) Dresser le tableau de variation de f

3.a) Déterminer l’abscisse du point A, intersection de (C) avec l’axe des abscisses.
b) Ecrire l’équation de la tangente (T) à (C) en A.

4) Tracer (C) et (T).