Corrigés – Suites géométriques – Suites numériques – Convergences – Tle L
Exercice 1
Calculons U_1~et~S_{30}
On a :
Exercice 2
Calcul du 10ème terme et de S_{10}
Soit (V_n)~cette suite et V_1=5~son premier terme.
On a : V_n = V_p \times q^{n-p}
et S_n = V_p \times \dfrac{1-q^{n-p+1}}{1-q}
V_n = V_1 \times (\dfrac{1}{2})^{n-1} = 5(\dfrac{1}{2})^{n-1}
donc V_{10} = 5(\dfrac{1}{2})^9
Exercice 3
Déterminons la raison q et la somme S_{15}
U_n = U_0 \times q^n = 3q^n \\ U_4 = 3q^4 =48 \\ \Leftrightarrow q^4 = 16 \\ \Leftrightarrow q = 2 ou q=-2
Comme U_4>U_1,(U_n)~croît et donc q>0
d’où q=2.
S_n = 3 \times \dfrac{1-(2)^{n+1}}{1-2} \\ S_n = -3[1-(2)^{n+1}]
Donc S_{15} = -3[1-(2)^{16}] \\ S_{15} = 196605
Exercice 4
1) Calculons U_2~et~U_3
On a 2nU_{n+1}=(n+1)U_n \\ \Harr U_{n+1}=\dfrac{n+1}{2n}U_n
Ainsi : U_2=\dfrac{1+1}{2 \times 1}U_1 = \dfrac{2}{2} U_1=U_1=2
U_3=\dfrac{2+1}{2 \times 2}U_2=\dfrac{3}{4}U_2=\dfrac{3}{4} \times 2=\dfrac{3}{2}
2)Soit V_n=\dfrac{U_n}{n}
Calculons V_1; V_2;~et~ V_3
b) Montrons que (V_n) est une suite géométrique dont on précisera la raison.
donc (V_n) est une suite géométrique de raison q = \dfrac{1}{2} et de premier terme V_1=2
c) Ecrivons V_n ~et~ U_n en fonction de n.
V_n = 2(\dfrac{1}{2})^{n-1}
et U_n = nV_n = 2n(\dfrac{1}{2})^{n-1}
d) Etude de sens de variation et de convergence.
On a 0<\dfrac{1}{2}<1~donc~(V_n)~est~décroissante.
Or \forall~~ n \geq 1; (\dfrac{1}{2})^{n-1} \geq 0~
et~1-n \leq 0~
donc~U_{n+1}-U_n \leq 0~ et par conséquent~(U_n)~est décroissante.
\lim\limits_{\substack{n\rightarrow +\infty}}(V_n)=0~et~\lim\limits_{\substack{n\rightarrow +\infty}}(U_n)=0~donc~(V_n)~et~(U_n)convergent vers 0.
Exercice 5
1) Calcul du bénéfice b_1
b_1=b_0+\dfrac{10}{100}b_0=1,1b_0=220.000F
Expression de b_{n+1}~en fonction de ~b_n
b_{x+1} = b_n + \dfrac{10}{100} b_n = 1,1b_n
En déduisons b_n en fonction de n.
b_n=(1,1)^nb_0=200.000 \times (1,1)^n.
2) L’année en laquelle le bénéfice annuel sera au moins le double de celui de 1989
Donc en 1997; le bénéfice annuel sera au moins le double de celui de 1989.
Exercice 6
1.a) La production de M. Kouao a été de :
2,8+\dfrac{2,8 \times 10}{100}=3,08
La Production de M. Kouao en 1995 était de 3,08 tonnes.
b) Si on note V_0 la production de cacao de M. Kouao en 1994 et V_n sa production après n années on a :
V_1=V_0+\dfrac{10 \times V_0}{100}=1,1 V_0
De même on généralise en écrivant :
V_{n+1}=V_n+\dfrac{10 \times V_n}{100}=1,1V_n
La suite (V_n)_{n \in \zeta}~est une suite géométrique de raison 1,1.
On a la relation
V_n=(1,1)^nV_0=2,8(1,1)^n
v_9~correspond à la production de 2003.
V_9=2,8(1,1)^9
v_9=6,7
En 2003 M. Kouao a une production d’environ 6,7 tonnes
2) On doit chercher le plus petit entier n pour lequel V_n>U_n.
Pour n = 3 (en 1997)
V_3=(1,1)^3 \times 2,8=3,64~or~U_3=3,7
Pour n=4 (en 1998)
V_4=(1,1)^4 \times 2,8 \\ V_4=1,5 \times 2,8 \\ V_4=4,2
C’est à partir de 1998 que la production de M. Kouao dépassera celle de M. Yapi.
U_4=U_3+0,3=4