Corrigés - Dérivation des fonctions numériques - Tle L

Tle B Mathématiques 2 : Dérivation des fonctions numériques – Tle L Corrigés – Dérivation des fonctions numériques – Tle L

Exercice 1

Calcul de dérivées
a) $f(x)=-5x^3+3x^2+x-4;~ \\D_f=\Psi$
Pour tout $x \in~ D_f;~f~$ est dérivable et
$~f'(x)=-15x^2+6x+1$

b) $f(x)=(2x^2+5x+1)^2~ \\ D_f=\Psi$
Pour tout $x \in D_f;~f~$ est dérivable et
$~f'(x)=2(4x+5)(2x^2+5x+1)$

c) $f(x)=(x-4)^5;~ \\ D_f=\Psi$
Pour tout $x \in D_f;~f~$ est dérivable et
$~f'(x)=5 \times 1 \times(x-4)^4 \\ f'(x)=5(x-1)^4$

d) $f(x)=2x(x-1)^2$
$D_f=\Psi$
Pour tout $x \in D_f; ~f~$ est dérivable et
$~f'(x)=2(x-1)^2+2\times 1\times(x-1)\times 2x \\ f'(x)=6x^2-8x+2$

e) $f(x)=\dfrac{1}{x}+3$
$D_f=\Psi \backslash \lbrace 0 \rbrace$
Pour tout $x \in D_f;~f~$ est dérivable et
$~f'(x)=\dfrac{-1}{x^2}$

f) $f(x)=3x-\dfrac{1}{x^3};~ \\ D_f=\Psi \backslash \lbrace 0 \rbrace$
Pour tout $x\in D_f,~f~$ est dérivable et
$f'(x)=3-(\dfrac{-3x^2}{x^6})= 3+\dfrac{3x^2}{x^6}$

$f'(x)=3+\dfrac{3}{x^4}$

g) $f(x)=\dfrac{x+2}{3x};~ \\ D_f=\Psi \backslash \lbrace 0 \rbrace$
Pour tout $x \in~D_f,~f~$ est dérivable et
$f'(x)=\dfrac{3x-3(x+2)}{9x^2}=-\dfrac{2}{9x^2}$

h) $f(x)=\dfrac{1}{(2x-1)^2};~ \\ D_f=\Psi \backslash \lbrace \dfrac{1}{2} \rbrace$
Pour tout $x \in D_f,~f~$ est dérivable et
$f'(x)=\dfrac{-2(2)(2x-1)}{(2x-1)^4}=\dfrac{-4}{(2x-1)^3}$

i) $f(x)=\dfrac{2}{(x+1)(x+3)};~ \\ D_f=\Psi \backslash \lbrace (-3;-1) \rbrace$
Pour tout $x \in D_f,~f~$ est dérivable et
$f'(x) = \dfrac{-[(x+3)+(x+1)]}{[(x+1)(x+3)]^2}$

$f'(x) =-\dfrac{2x+4}{[(x+1)(x+3)]^2}$

j) $f(x) = \sqrt{4-x} \\ D_f = ]-\infty ; 4]$
Pour tout $x \in D_f,~f~$ est dérivable et
$~f'(x)=-\dfrac{1}{2\sqrt{4-x}}$

k) $f(x)=\dfrac{2x-1}{\sqrt x};~ \\ D_f=]0;+\infty[~ \\ \forall ~~ x \in D_f,~f$ est dérivable et
$f'(x)=\dfrac{2\sqrt x-\dfrac{1}{2\sqrt x}(2x-1)}{x}$

$f'(x)=\dfrac{2x+1}{2x\sqrt x}$

Exercice 2

Détermination d’équation de la tangente $(D)$
a) $f(x)=2x^2+1;~ x_0=-1;~ \\ D_f=\Psi$
Pour tout $x \in D_f;~f'(x)=4x \\ f'(-1)=-4~$ et $~f(1)=3~$ d’où :
$(D):y=-4(x+1)+3 \\ y=-4x-1$

b) $f(x)=\dfrac{x^2+1}{3}; x_0=0;~ \\ D_f=\Psi$
Pour tout $x \in D_f;~f'(x)=\dfrac{2}{3}x$
$f'(0)=0~$ et $~f(0)=\dfrac{1}{3}~$ d’où :
$(D):y=0(x-0)+\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3}$

c) $f(x)=\dfrac{1}{x-1};x_0=\dfrac{1}{2};~ \\ D_f=\Psi \backslash \lbrace 1 \rbrace$
Pour tout $x \in ~D_f;~f~$ est dérivable et
$f'(x)=\dfrac{-1}{(x-1)^2}$

$f'(\dfrac{1}{2})=\dfrac{-1}{(\dfrac{1}{2}-1)^2}=\dfrac{-1}{\dfrac{1}{4}}=-4$

et $f(\dfrac{1}{2})=\dfrac{1}{(\dfrac{1}{2}-1)}=-2$

d’où $(D):y=-4(x-\dfrac{1}{2})-2$
$(D):y=-4x$

Exercice 3

Déterminons les réels $a$ et $b$ pour que la courbe représentative de $f$ passe par le point $A (1;4)$ et admet un extremum en ce point.
$f(x)=ax^2+bx-1$

La courbe de $f$ passe par $A$ donc $f(1)=4.$

De plus comme $f$ admet un extremum en ce point, donc sa dérivée $f’$ s’annule en ce point.
Ainsi, $f(1)=4~$ et $~f'(1)=0~$
avec $~f'(1)=2a+b~$
et $~f(1)=a+b-1$

On obtient $\begin{cases}2a+b=0 \\ a+b-1=4 \end{cases}$
On trouve après résolution $a=-5~$ et $~b=10~$
d’où $~f(x)=-5x^2+10x-1$

Exercice 4

Etude de sens de variation

a) $f(x)=2x^2-4;~ \\ D_f=\Psi$
Pour tout $x \in D_f,~f$ est dérivable et $~f'(x)=4x~$

Signe de $~f'(x).$
$f'(x) \geq 0 \Harr 4x \geq 0 \Harr x \geq 0$
Ainsi; pour $x \in ~~ ]-\infty;0];~ \\ f'(x) \leq 0~$ donc $f$ est décroissante sur $~]-\infty ;0]$ .
Pour $x \in [0;+\infty[; \\ f'(x) \geq 0~$ donc $~f~$ est croissante sur $~[0 ;+\infty[$ .

b) $f(x)=(2x+1)(x-1);~ \\ D_f=\Psi$
Pour tout $x \in D_f,~f~$ est dérivable
et $~f'(x)=2(x-1)+(2x+1) \\ f'(x)=4x-1$

Signe de $f'(x).$
$f'(x) \geq 0 \Harr 4x-1 \geq 0 \Harr x \geq \dfrac{1}{4}$

Ainsi ; pour $x \in ]-\infty;\dfrac{1}{4}];~ \\ f'(x) \leq 0~$ donc $~f~$ est décroissante sur $~]-\infty;\dfrac{1}{4}]~$
pour $~x\in~[\dfrac{1}{4};+\infty[;f'(x) \geq 0~$ donc $~f~$ est croissante sur $~[\dfrac{1}{4};+\infty[$

c) $f(x)=\dfrac{6x+1}{x+3};~ \\ D_f=\Psi \backslash \lbrace {-3} \rbrace$
Pour tout $x \in D_f~$ ,f est dérivable et
$f'(x)=\dfrac{6(x+3)-(6x+1)}{(x+3)^2}=\dfrac{17}{(x+3)^2}$

Signe de $f'(x).$
$f'(x) \geq 0 \Harr \dfrac{17}{(x+3)^2} \geq;~$ or $~\forall~~ x \in D_f;$
$(x+3)^2 \geq 0~$ et $~17 >0~$
donc $~\dfrac{17}{(x+3)^2} \geq 0$
Ainsi, pour $x~\in~]-\infty;-3[\cup]-3;+\infty[,~\\ f'(x)>0~$ donc $f$ est croissante sur $D_f$

d) $f(x)=x\sqrt{x+1};~ \\ D_f[-1;+\infty[$
Pour tout $x \in D_f$ , est dérivable et
$f'(x)=\sqrt{x+1}+\dfrac{x}{2\sqrt{x+1}}$

$f'(x)=\dfrac{3x+2}{2\sqrt{x+1}}$

Signe de $f'(x).$
$f'(x) \geq 0 \Harr \dfrac{3x+2}{2\sqrt{x+1}} \geq 0;~$

or $~\forall ~~ x \in ~D_f;2\sqrt{x+1} \geq 0~$ donc le signe de $~f'(x)~$ est celui de $~3x+2$
$3x+2 \geq 0 \Harr x \Harr \dfrac{-2}{3}$

Ainsi ;pour $x \in [-1;\dfrac{-2}{3}]; \\ f'(x) \leq 0~$ donc $~f~$ est décroissante sur $~[-1;\dfrac{-2}{3}]$
Pour $x \in [\dfrac{-2}{3};+\infty[; \\ ~f'(x)\geq 0~$ donc $~f~$ est croissante sur $~[\dfrac{-2}{3};+\infty[$

e) $f(x)=(x-3)\sqrt x;~ \\ D_f=[0;+\infty[$
$f$ est dérivable et
$f'(x)=\sqrt x +\dfrac{x-3}{2\sqrt x}=\dfrac{3x-3}{2\sqrt x}$

Signe de $f'(x)$
$f'(x) \geq 0 \Harr \dfrac{3x-3}{2\sqrt x} \geq 0;~$
Or $~\forall ~~x \in D_f;2\sqrt x \geq 0~$ donc le signe de $~f'(x)~$ est celui de $3x-3$

3x-3 \geq 0 \Harr x \geq 1

Ainsi ; pour $x \in [0;1]; \\ f'(x) \leq 0~$ donc $~f~$ est décroissante sur $~[0;1]~$
pour $~x \in [1;+\infty[; \\ f'(x) \geq 0~$ donc $f$ est croissante sur $[1;+\infty[$ .