Corrigés – Dérivation des fonctions numériques – Tle L

Exercice 1

Calcul de dérivées
a) f(x)=-5x^3+3x^2+x-4;~ \\D_f=\Psi
Pour tout x \in~ D_f;~f~est dérivable et
~f'(x)=-15x^2+6x+1

b) f(x)=(2x^2+5x+1)^2~ \\ D_f=\Psi
Pour tout x \in D_f;~f~est dérivable et
~f'(x)=2(4x+5)(2x^2+5x+1)

c) f(x)=(x-4)^5;~ \\ D_f=\Psi
Pour tout x \in D_f;~f~est dérivable et
~f'(x)=5 \times 1 \times(x-4)^4 \\ f'(x)=5(x-1)^4

d) f(x)=2x(x-1)^2
D_f=\Psi
Pour tout x \in D_f; ~f~est dérivable et
~f'(x)=2(x-1)^2+2\times 1\times(x-1)\times 2x \\ f'(x)=6x^2-8x+2

e) f(x)=\dfrac{1}{x}+3
D_f=\Psi \backslash \lbrace 0 \rbrace
Pour tout x \in D_f;~f~est dérivable et
~f'(x)=\dfrac{-1}{x^2}

f) f(x)=3x-\dfrac{1}{x^3};~ \\ D_f=\Psi \backslash \lbrace 0 \rbrace
Pour tout x\in D_f,~f~est dérivable et
f'(x)=3-(\dfrac{-3x^2}{x^6})= 3+\dfrac{3x^2}{x^6}

f'(x)=3+\dfrac{3}{x^4}

g) f(x)=\dfrac{x+2}{3x};~ \\ D_f=\Psi \backslash \lbrace 0 \rbrace
Pour tout x \in~D_f,~f~est dérivable et
f'(x)=\dfrac{3x-3(x+2)}{9x^2}=-\dfrac{2}{9x^2}

h) f(x)=\dfrac{1}{(2x-1)^2};~ \\ D_f=\Psi \backslash \lbrace \dfrac{1}{2} \rbrace
Pour tout x \in D_f,~f~est dérivable et
f'(x)=\dfrac{-2(2)(2x-1)}{(2x-1)^4}=\dfrac{-4}{(2x-1)^3}

i) f(x)=\dfrac{2}{(x+1)(x+3)};~ \\ D_f=\Psi \backslash \lbrace (-3;-1) \rbrace
Pour tout x \in D_f,~f~est dérivable et
f'(x) = \dfrac{-[(x+3)+(x+1)]}{[(x+1)(x+3)]^2}

f'(x) =-\dfrac{2x+4}{[(x+1)(x+3)]^2}

j) f(x) = \sqrt{4-x} \\ D_f = ]-\infty ; 4]
Pour tout x \in D_f,~f~est dérivable et
~f'(x)=-\dfrac{1}{2\sqrt{4-x}}

k) f(x)=\dfrac{2x-1}{\sqrt x};~ \\ D_f=]0;+\infty[~ \\ \forall ~~ x \in D_f,~f est dérivable et
f'(x)=\dfrac{2\sqrt x-\dfrac{1}{2\sqrt x}(2x-1)}{x}

f'(x)=\dfrac{2x+1}{2x\sqrt x}

Exercice 2

Détermination d’équation de la tangente (D)
a) f(x)=2x^2+1;~ x_0=-1;~ \\ D_f=\Psi
Pour tout x \in D_f;~f'(x)=4x \\ f'(-1)=-4~et~f(1)=3~d’où :
(D):y=-4(x+1)+3 \\ y=-4x-1

b) f(x)=\dfrac{x^2+1}{3}; x_0=0;~ \\ D_f=\Psi
Pour tout x \in D_f;~f'(x)=\dfrac{2}{3}x
f'(0)=0~et~f(0)=\dfrac{1}{3}~d’où :
(D):y=0(x-0)+\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3}

c) f(x)=\dfrac{1}{x-1};x_0=\dfrac{1}{2};~ \\ D_f=\Psi \backslash \lbrace 1 \rbrace
Pour tout x \in ~D_f;~f~est dérivable et
f'(x)=\dfrac{-1}{(x-1)^2}

f'(\dfrac{1}{2})=\dfrac{-1}{(\dfrac{1}{2}-1)^2}=\dfrac{-1}{\dfrac{1}{4}}=-4

et f(\dfrac{1}{2})=\dfrac{1}{(\dfrac{1}{2}-1)}=-2

d’où (D):y=-4(x-\dfrac{1}{2})-2
(D):y=-4x

Exercice 3

Déterminons les réels a et b pour que la courbe représentative de f passe par le point A (1;4) et admet un extremum en ce point.
f(x)=ax^2+bx-1

La courbe de f passe par A donc f(1)=4.

De plus comme f admet un extremum en ce point, donc sa dérivée f’ s’annule en ce point.
Ainsi, f(1)=4~et~f'(1)=0~
avec~f'(1)=2a+b~
et~f(1)=a+b-1

On obtient \begin{cases}2a+b=0 \\ a+b-1=4 \end{cases}
On trouve après résolution a=-5~et~b=10~
d’où~f(x)=-5x^2+10x-1

Exercice 4

Etude de sens de variation

a) f(x)=2x^2-4;~ \\ D_f=\Psi
Pour tout x \in D_f,~f est dérivable et~f'(x)=4x~

Signe de~f'(x).
f'(x) \geq 0 \Harr 4x \geq 0 \Harr x \geq 0
Ainsi; pour x \in ~~ ]-\infty;0];~ \\ f'(x) \leq 0~donc f est décroissante sur~]-\infty ;0].
Pour x \in [0;+\infty[; \\ f'(x) \geq 0~donc~f~est croissante sur ~[0 ;+\infty[ .

b) f(x)=(2x+1)(x-1);~ \\ D_f=\Psi
Pour tout x \in D_f,~f~est dérivable
et~f'(x)=2(x-1)+(2x+1) \\ f'(x)=4x-1

Signe de f'(x).
f'(x) \geq 0 \Harr 4x-1 \geq 0 \Harr x \geq \dfrac{1}{4}

Ainsi ; pour x \in ]-\infty;\dfrac{1}{4}];~ \\ f'(x) \leq 0~donc~f~est décroissante sur~]-\infty;\dfrac{1}{4}]~
pour~x\in~[\dfrac{1}{4};+\infty[;f'(x) \geq 0~donc~f~est croissante sur~[\dfrac{1}{4};+\infty[

c) f(x)=\dfrac{6x+1}{x+3};~ \\ D_f=\Psi \backslash \lbrace {-3} \rbrace
Pour tout x \in D_f~,f est dérivable et
f'(x)=\dfrac{6(x+3)-(6x+1)}{(x+3)^2}=\dfrac{17}{(x+3)^2}

Signe de f'(x).
f'(x) \geq 0 \Harr \dfrac{17}{(x+3)^2} \geq;~or~\forall~~ x \in D_f;
(x+3)^2 \geq 0~et~17 >0~
donc~\dfrac{17}{(x+3)^2} \geq 0
Ainsi, pour x~\in~]-\infty;-3[\cup]-3;+\infty[,~\\ f'(x)>0~donc f est croissante sur D_f

d) f(x)=x\sqrt{x+1};~ \\ D_f[-1;+\infty[
Pour tout x \in D_f, est dérivable et
f'(x)=\sqrt{x+1}+\dfrac{x}{2\sqrt{x+1}}

f'(x)=\dfrac{3x+2}{2\sqrt{x+1}}

Signe de f'(x).
f'(x) \geq 0 \Harr \dfrac{3x+2}{2\sqrt{x+1}} \geq 0;~

or ~\forall ~~ x \in ~D_f;2\sqrt{x+1} \geq 0~donc le signe de~f'(x)~est celui de~3x+2
3x+2 \geq 0 \Harr x \Harr \dfrac{-2}{3}

Ainsi ;pour x \in [-1;\dfrac{-2}{3}]; \\ f'(x) \leq 0~donc~f~est décroissante sur~[-1;\dfrac{-2}{3}]
Pour x \in [\dfrac{-2}{3};+\infty[; \\ ~f'(x)\geq 0~donc~f~est croissante sur~[\dfrac{-2}{3};+\infty[

e) f(x)=(x-3)\sqrt x;~ \\ D_f=[0;+\infty[
f est dérivable et
f'(x)=\sqrt x +\dfrac{x-3}{2\sqrt x}=\dfrac{3x-3}{2\sqrt x}

Signe de f'(x)
f'(x) \geq 0 \Harr \dfrac{3x-3}{2\sqrt x} \geq 0;~
Or~\forall ~~x \in D_f;2\sqrt x \geq 0~donc le signe de~f'(x)~est celui de 3x-3

3x-3 \geq 0 \Harr x \geq 1

Ainsi ; pour x \in [0;1]; \\ f'(x) \leq 0~donc~f~est décroissante sur~[0;1]~
pour~x \in [1;+\infty[; \\ f'(x) \geq 0~donc f est croissante sur [1;+\infty[ .