Corrigés - Fonction exponentielle de base e - Tle L

Tle B Mathématiques 5 : Fonction exponentielle de base e – Tle L Corrigés – Fonction exponentielle de base e – Tle L

Exercice 1

Résolvons dans $\Psi^2$ les systèmes suivants :
(1) $\begin{cases}e^x \times e^y=6 \\ \dfrac{e^x}{e^y}=\dfrac{2}{3}\end{cases}.$
Posons $e^x=X~$ et $~e^y=Y$
avec $X$ et $Y$ strictement positifs. Le système d’équation devient:

$\begin{cases}X.Y=6 \\ \dfrac{x}{y}=\dfrac{2}{3}\end{cases}$
En résolvant on trouve $X=2~$ et $~ Y=3;~$
ce qui donne $x=\ln 2~$ et $~y=\ln 3$
Donc $S_{\Psi^2}=\lbrace(\ln 2,\ln 3)\rbrace$

(2) $\begin{cases}3e^x-4e^y=-6 \\ 2e^x+e^y=7 \end{cases}$
Posons $~ e^x=X ~$ et $~e^y=Y$ avec $X$ et $Y$ strictement positifs. Le système d’équations devient:

$\begin{cases}3X-4Y=-6 \\ 2X+Y=7 \end{cases}~$
En résolvant on trouve $~𝑋=2~$ 𝑒𝑡 $~𝑌=3;$
ce qui donne $x=\ln 2~$ et $~y=\ln 3$
donc $S_{\Psi^2}=\lbrace(\ln 2;\ln 3)\rbrace$

(3) $\begin{cases}2x^2-3e^y=9 \\ -6e^x+5e^y=19 \end{cases}~$
Posons $~e^x=X~$ et $~ e^y=Y$ avec $X$ et $Y$ strictement positifs. Le système d’équation devient:

$\begin{cases}2X-3Y=9 \\ -6X+5Y=19 \end{cases}~$
En résolvant on trouve $Y=-\dfrac{23}{2}~$ qui est négatif donc $~S_{\Psi^2}=\varnothing$

Exercice 2

$f(x)=ax+b+ce^x$
1) Déterminons $a,~ b$ et $c$
( $C$ ) est tangente en $O$ à l’axe des abscisses.
$f(0)=0 \implies b+c=1$
$(T):y=0 \\ \implies f'(0)(x-0)+f(0)=0$
$f'(x)=a+ce^x \implies f'(0)=a+c$

Pour tout $x \in \R,(a+c)x=0 \\ \implies a+c=0(2)$
La tangente ( $T’$ ) à ( $C$ )au point d’abscisse $x_0=1~$ coupe ( $oy$ ) en $~y=1$
$(T’):y=f'(1)(x-1)+f(1)$
$1=f'(1)(x-1)+f(1)$
$f'(1)=a+ec; \\ f(1)=a+b+ec-a-ec+a+b+ec=1$
$b=1;$ (1) : $c=-1;$ (2) : $a=1$

2.a) Variation de $g$ .
$g(x)=x+1-e^x$
Pour tout $x \in D_g;~g~$ est derivable et $~g’(x)=1-e^x$
$g'(x) \geq 0 \Harr 1-e^x \geq 0 \\ \Harr e^x \leq 1 \Harr x \leq 0$

$\forall ~~x \in ~]-\infty;0];g'(x) \geq 0~$ donc $~g~$ est croissante sur $]-\infty;0]$
$\forall ~~x \in ~[0;+\infty[;g'(x) \leq 0~$ donc $~g~$ est décroissante sur $~[0;+\infty[$

$\lim\limits_{\substack{x\rightarrow -\infty}} g(x) = -\infty$
car $\lim\limits_{\substack{x\rightarrow -\infty}} (x+1) = -\infty$ et $\lim\limits_{\substack{x\rightarrow -\infty}} e^x = 0$

$\lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}}g(x) = \lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}} x+1-e^x \\ =\lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}} e^x (\dfrac{x}{e^x} +\dfrac{1}{e^x} -1) \\ = +\infty (0+0-1) = -\infty$
$g(0) = 1-1 = 0$

Tableau de variation

b) Montrons que ( $D$ ) est une asymptote à ( $T$ ) en $+\infty$
$g(x)-y=x+1-e^x-x-1 \\ g(x)-y=-e^x$
$\lim\limits_{\substack{x\rightarrow -\infty}}(g(x)-y)=\lim\limits_{\substack{x\rightarrow -\infty}}(-e)^x=0~$ donc $~(D)~$ est asymptote oblique à ( $T$ ) en $~-\infty$

c)Tracés de ( $D$ ) et ( $C’$ )

Exercice 3

Soit $f(x)=\dfrac{e^x}{e-e^x}$
1) Déterminons l’ensemble de définition de $f$ .

2) Montrons que $\forall ~~x \in D_f; \\ f(x)=-1+\dfrac{e}{e-e^x}$

Donc $\forall ~~ x \in D_f ; \\ f(x) = -1 + \dfrac{e}{e-e^x}$

3) Etudions les variations de $f$ . Pour tout $x \in D_f;~f~$ est dérivable
$f'(x)=0+\dfrac{e \times e^x}{(e-e^x)^2}=\dfrac{e^{x+1}}{(e-e^x)^2}$
$\forall ~~x \in ~D_f;~f'(x)>0;$ donc $f$ est strictement croissante sur $D_f$ .

Tableau de variation

4) Courbe.

5) Soit $g(x)=\dfrac{e^x+1}{1-e^x}$
a) Montrons que $g$ est impaire

$\forall ~~ x \in ~D_g; -x \in D_g$
et $g(-x) = \dfrac{e^{-x} +1}{1-e^{-x}} = \dfrac{e^{-x}(1+e^x)}{e^{-x}(e^x-1}$

$g(-x) = \dfrac{1+e^x}{e^x-1}$

$g(-x)=\dfrac{e^x+1}{1-e^x}=g(x)~$ donc $g$ est une fonction impaire.

b) Montrons que $A(1;\dfrac{-1}{2})$ est un centre de symétrie de ( $C$ ).

donc $A(1;-\dfrac{1}{2})~$ est un centre de symétrie de ( $C$ ).