Corrigés - Equations-Inéquations-Système - Tle L

Tle B Mathématiques 6 : Equations-Inéquations-Système – Tle L Corrigés – Equations-Inéquations-Système – Tle L

Exercice 1

Résolvons dans $\Psi$
a) $3x - 1 = -2x +3$
$3x-1=-2x+3 ~⧦~ 3x+2x = 3+1$
$5x=4 \\ x =\dfrac{4}{5}$

$S_{\Psi} = \lbrace \dfrac{4}{5} \rbrace$

b) $\dfrac{1}{x} =\dfrac{1}{2x-1}$
L’équation est valide si $x \ne 0$ et $x \ne \dfrac{1}{2}$
$\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{2x-1}~⧦~2x-1=x \\ x=1$

$S_{\Psi} = \lbrace 1 \rbrace$

c) $x^2 + x – 4 = 0 \\ \Delta =1^2 – 4 \times (1) \times (-4) = 17 \\ x_1=\dfrac{-1+\sqrt{17}}{2}$ et $x_2 = \dfrac{-1-\sqrt{17}}{2}$

$S_{\Psi} = \lbrace \dfrac{-1+\sqrt{17}}{2} ; \dfrac{-1-\sqrt{17}}{2} \rbrace$

d) $\dfrac{x}{x+1}=\dfrac{x+1}{x}$
L’équation est valide si $x \not= 0 ~$ et $~ x \not= -1$
$\dfrac{x}{x+1} = \dfrac{x+1}{x} ~⧦~ x^2 = (x+1)^2 \\ x^2-x^2-2x-1=0 \\ -2x-1=0 \\ x = -\dfrac{1}{2}$

$S_{\Psi} = \lbrace -\dfrac{1}{2} \rbrace$

e) $2x^3 + x^2 = 5x -2 \\ 2x^3 + x^2 = 5x – 2 ~⧦~ 2x^3 +x^2 -5x +2 = 0$
$2(1)^3+(1)^2-5(1)+2=0$
donc 1 est une racine de $2x^3+x^2-5x+2$
Factorisons le polynôme

Par identification, $a=2 ;b-a=1 ;c-b=-5~$ et $~c=-2$
On trouve $a=2;b=3~$ et $~c=-2 ~$
d’où $~2x^3+x^2-5x+2=(x-1)(2x^2+3x-2)$

Résolvons l’équation $2x^2+3x-2$
$\Delta = 9-4(2) \times (-2) = 9+16=25$
$x_1 = \dfrac{-3+5}{4} = \dfrac{1}{2}$ et $x_2 = \dfrac{-3-5}{4} = -2$

$S_{\Psi} = \lbrace -2 ; \dfrac{1}{2} ;1 \rbrace$

f) $\sqrt{x-2} =x$
L’équation est valide si $x \geq 2~$ et $~x \geq 0;~ \\ D_v=[2;+\infty[$
$\sqrt{x-2} =x ~⧦~ x-2 = x^2 \\ x^2 – x +2=0 \\ \Delta = 1-8 = -7 <0$
donc
$S_{\Psi} = \lbrace \rbrace$

Exercice 2

Le prix d’une assiette :
Soit $x$ le prix d’une assiette :
D’après l’énoncé 12 $x$ +2500=17 $x$

Une assiette coûte donc 500 F.

Exercice 3

Calculons la mesure du côté du jardin de M. TRAORE avant agrandissement
Soit $a$ le côté du jardin ( $a$ ˃ 0)
Le nouveau terrain est un rectangle de longueur $a$ +8, de largeur $a$ et de superficie 560 m².
Ainsi :
$(a+8)a = 560 ~⧦~a^2+8a-560=0$
$\Delta = 64-4(560) \times (1) \\ \Delta = 2304 \\ \Delta = (48)^2$

$a_1 = \dfrac{-8+48}{2} = 20$

et $a_1 = \dfrac{-8-48}{2} = -28$
Comme $a$ ˃ 0 donc $a$ =20.
Le côté du jardin mesurait donc 20m avant l’agrandissement.

Exercice 4

Résolvons dans $\R$
a) $2x-1<3x+2 \\ \Leftrightarrow 2x-3x < 1+2 \Leftrightarrow x > 3$
$S=]3;+\infty[$

b) $\dfrac{1}{x-1}>\dfrac{1}{x+2}$
Domaine de validité ( $D_v$ )

donc il faut que $(x-1)(x+2)>0$
pour que $\dfrac{3}{(x-1)(x+2)}>0$

Tableau de signe

S = ]-\infty ; -2 [ \cup ]1 ; +\infty [

c) $\sqrt{x-1}>1$
Domaine de validité
$D_v=\lbrace x \in \Psi /x -1\geq 0~$ et $~x \geq 0 \rbrace$
$D_v=[1;+\infty[$
$\sqrt{x-1}>x \Leftrightarrow x-1>x^2-x+1<0$
$\Delta =1-4 \times 1 \times 1=-7<0~$ donc $~S=\varnothing$

Exercice 5

Le nombre de livres qu’il faut imprimer par jour pour que le prix de revient d’un livre soit inférieur ou égal à 750 F.
Soit $x$ le nombre de livre(s) produit(s) par jour :

La location de la machine et les frais de papiers s’élèvent à
350 $x$ + 100 000

Le prix de revient est 750 $x$

on résout :
350 $x$ +100 000 $\leq$ 750 $x$
-750 $x$ + 350 $x \leq$ -100 000
-400 $x \leq$ -100.000
$x \geq$ 250
L’imprimerie doit donc produire au moins 250 livres par jour.

Exercice 6

Résolution dans $\Psi \times \Psi$

a) $\begin{cases} 2x+y=5 \\ 3x-y=2 \end{cases}$
Par combinaison linéaire on obtient :

$x=\dfrac{7}{5}$ et $y=\dfrac{11}{5}$

$S_{\Psi \times \Psi} = \lbrace ( \dfrac{7}{5} ; \dfrac{11}{5} ) \rbrace$

b) $\begin{cases} 2x^2 – y = 1 \\ x^2 + y = 0 \end{cases}$

Par combinaison linéaire on obtient :

$x = \dfrac{\sqrt3}{3}$ ou $x= -\dfrac{\sqrt3}{3}$

et $y = -\dfrac{1}{3}$

$S_{\Psi \times \Psi} = \lbrace ( \dfrac{\sqrt3}{3} ; -\dfrac{1}{3} ) ; ( -\dfrac{\sqrt3}{3} ; -\dfrac{1}{3} ) \rbrace$

c) $\begin{cases} 3x-2y=4 \\ x+3y=8 \end{cases} ~⧦~ \begin{cases} 3x-2y=4 \\ -3x-9y=-24 \end{cases}$

On obtient $x = \dfrac{28}{11}$ et $y=\dfrac{20}{11}$

$S_{\Psi \times \Psi} = \lbrace ( \dfrac{28}{11} ; \dfrac{20}{11} ) \rbrace$

Exercice 7

Soit $x$ le nombre de problèmes résolus et $y$ le nombre de problèmes non résolus.
D’après l’énoncé, $x+y=26 ~$ et $~ 8x=5y$ ce qui nous conduit au système suivant : $\begin{cases}x+y=26 \\ 8x-5y=0\end{cases}$
Par substitution on trouve $x=10 ~$ et $~ y=16$
L’enfant a résolu 10 problèmes.

Exercice 8

Résolution dans $\Psi$

a) $\ln (x+3)+\ln (x+2) \leq \ln(x+11)$
L’inéquation est valide si $x>-3;~x>-2~$ et $~x>-11$

b) $(\ln x)^2 – 7\ln x +6 = 0$
$D_v = ]0 ; +\infty[$

Posons $X=\ln x ~$ donc l’équation devient $~ X^2-7X+6=0$
$\Delta = 49 – 4 \times 1 \times 6 = 25$
$X_1=\dfrac{7+5}{2}=6$ et $X_2=\dfrac{7-5}{2}=1$

Comme $X = \ln x$ on a :
$\ln x = 6$ ou $\ln x = 1$
$x=e^6$ ou $x=e$

$S_{\Psi} = \lbrace e ; e^6 \rbrace$

c) $\ln (\dfrac{5-x}{5+x}) \geq 1$

d) $2e^{-t} + 1-6e^t = 0$
Posons $X=e^t ; X > 0$

$\Delta = 1-4 \times (2) \times (-6) = 49$

$X_1 = \dfrac{-1+7}{-12} = -\dfrac{1}{2}$

et $X_2 = \dfrac{-1-7}{-12} = \dfrac{2}{3}$

$X>0$ donc $X=\dfrac{2}{3}$

Exercice 9

Résolution dans $\Psi \times \Psi$

a) $\begin{cases} e^x-4e^y=-3 \\ 3e^x+5e^y=49\end{cases}$
Posons $X=e^x(X>0)~$ et $~Y=e^y(Y>0)$
L’équation devient :

Par combinaison on trouve $X=\dfrac{181}{17}~$ et $~Y=\dfrac{58}{17}$

b) $\begin{cases} x+y=55 \\ \ln x + \ln y = \ln 100 \end{cases}$

Le système d’équation est valide si $x>0$ et $y>0$ .

Résolvons $X^2-SX+P=0~$ avec $~S=55~$ et $~P=700$
$X^2-55X+700=0$
$\Delta = 3025 – 4 \times 700 \times 1 \\ \Delta = 3025 – 2800 \\ \Delta =225 \\ \Delta =(15)^2$

Si $x=35$ alors $y=20$ et si $y=20 ; x=35$

$S_{\Psi \times \Psi} = \lbrace (35 ; 20) ; (20 ; 35) \rbrace$

c) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 130 \\ \ln(-x) + \ln(-y) = \ln 63 \end{cases}$

Car $(x<0$ et $y<0)$
$\begin{cases} x+y=-16 \\ xy=63 \end{cases}$

Résolvons $x^2 + 16x +63 = 0$
$\Delta = 256 – 252 = 4 = 2^2$
$x_1 = -9$ et $x_2 = -7$