Corrigés - Suites géométriques - Suites numériques - Convergences - Tle L

Tle B Mathématiques 7 : Suites géométriques – Suites numériques – Convergences – Tle L Corrigés – Suites géométriques – Suites numériques – Convergences – Tle L

Exercice 1

Calculons $U_1~$ et $~S_{30}$

On a :

Exercice 2

Calcul du 10ème terme et de $S_{10}$
Soit $(V_n)~$ cette suite et $V_1=5~$ son premier terme.
On a : $V_n = V_p \times q^{n-p}$

et $S_n = V_p \times \dfrac{1-q^{n-p+1}}{1-q}$

$V_n = V_1 \times (\dfrac{1}{2})^{n-1} = 5(\dfrac{1}{2})^{n-1}$

donc $V_{10} = 5(\dfrac{1}{2})^9$

Exercice 3

Déterminons la raison $q$ et la somme $S_{15}$
$U_n = U_0 \times q^n = 3q^n \\ U_4 = 3q^4 =48 \\ \Leftrightarrow q^4 = 16 \\ \Leftrightarrow q = 2$ ou $q=-2$
Comme $U_4>U_1,(U_n)~$ croît et donc $q>0$
d’où $q=2$ .

$S_n = 3 \times \dfrac{1-(2)^{n+1}}{1-2} \\ S_n = -3[1-(2)^{n+1}]$

Donc $S_{15} = -3[1-(2)^{16}] \\ S_{15} = 196605$

Exercice 4

1) Calculons $U_2~$ et $~U_3$
On a $2nU_{n+1}=(n+1)U_n \\ \Harr U_{n+1}=\dfrac{n+1}{2n}U_n$

Ainsi : $U_2=\dfrac{1+1}{2 \times 1}U_1 = \dfrac{2}{2} U_1=U_1=2$

$U_3=\dfrac{2+1}{2 \times 2}U_2=\dfrac{3}{4}U_2=\dfrac{3}{4} \times 2=\dfrac{3}{2}$

2)Soit $V_n=\dfrac{U_n}{n}$
Calculons $V_1; V_2;~$ et $~ V_3$

b) Montrons que $(V_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.

donc $(V_n)$ est une suite géométrique de raison $q = \dfrac{1}{2}$ et de premier terme $V_1=2$

c) Ecrivons $V_n ~$ et $~ U_n$ en fonction de $n$ .
$V_n = 2(\dfrac{1}{2})^{n-1}$
et $U_n = nV_n = 2n(\dfrac{1}{2})^{n-1}$

d) Etude de sens de variation et de convergence.
On a $0<\dfrac{1}{2}<1~$ donc $~(V_n)~$ est~décroissante.

Or $\forall~~ n \geq 1; (\dfrac{1}{2})^{n-1} \geq 0~$
et $~1-n \leq 0~$
donc $~U_{n+1}-U_n \leq 0~$ et par conséquent $~(U_n)~$ est décroissante.

$\lim\limits_{\substack{n\rightarrow +\infty}}(V_n)=0~$ et $~\lim\limits_{\substack{n\rightarrow +\infty}}(U_n)=0~$ donc $~(V_n)~$ et $~(U_n)$ convergent vers 0.

Exercice 5

1) Calcul du bénéfice $b_1$
$b_1=b_0+\dfrac{10}{100}b_0=1,1b_0=220.000F$
Expression de $b_{n+1}~$ en fonction de $~b_n$
$b_{x+1} = b_n + \dfrac{10}{100} b_n = 1,1b_n$
En déduisons $b_n$ en fonction de $n$ .
$b_n=(1,1)^nb_0=200.000 \times (1,1)^n.$

2) L’année en laquelle le bénéfice annuel sera au moins le double de celui de 1989

Donc en 1997; le bénéfice annuel sera au moins le double de celui de 1989.

Exercice 6

1.a) La production de M. Kouao a été de :
$2,8+\dfrac{2,8 \times 10}{100}=3,08$
La Production de M. Kouao en 1995 était de 3,08 tonnes.

b) Si on note $V_0$ la production de cacao de M. Kouao en 1994 et $V_n$ sa production après $n$ années on a :
$V_1=V_0+\dfrac{10 \times V_0}{100}=1,1 V_0$
De même on généralise en écrivant :
$V_{n+1}=V_n+\dfrac{10 \times V_n}{100}=1,1V_n$
La suite $(V_n)_{n \in \zeta}~$ est une suite géométrique de raison $1,1$ .

On a la relation
$V_n=(1,1)^nV_0=2,8(1,1)^n$
$v_9~$ correspond à la production de 2003.
$V_9=2,8(1,1)^9$
$v_9=6,7$
En 2003 M. Kouao a une production d’environ 6,7 tonnes

2) On doit chercher le plus petit entier $n$ pour lequel $V_n>U_n$ .
Pour $n = 3$ (en 1997)
$V_3=(1,1)^3 \times 2,8=3,64~$ or $~U_3=3,7$
Pour $n=4$ (en 1998)
$V_4=(1,1)^4 \times 2,8 \\ V_4=1,5 \times 2,8 \\ V_4=4,2$
C’est à partir de 1998 que la production de M. Kouao dépassera celle de M. Yapi.
$U_4=U_3+0,3=4$