Sujet Bac 5 – Tle L

Exercice 1

On considère les suites (u_n)~et~(v_n) définie par :
\begin{cases}u_0=\dfrac{3}{5} \\ u_{n+1}=\dfrac{u_n-3}{6}\end{cases}~et~v_n=3+5u_n; \\ ~\forall ~~n \in \N.
1.a) Montrer que (v_n) est une suite géométrique ; on précisera sa raison et son premier terme.
b) En déduire l’expression de v_n puis celle de u_n en fonction de 𝑛.
2) Etudier la convergence de (u_n)~et de~(𝑣_𝑛)
3.a) Calculer : 𝑆𝑛= 𝑣_0+𝑣_1+⋯+𝑣_𝑛
𝑆’_𝑛 = 𝑢_0+𝑢_1+⋯+ 𝑢_𝑛 en fonction de 𝑛.
b- Calculer \lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}}S_n

Exercice 2

Les malades du sida d’une localité sont répartis par âge selon le tableau ci-dessous.

1a) Quelle est la population étudiée ?
b) Quel est l’effectif total de cette population ?
c) Quelle est la classe modale ?
d) Le caractère étudié est-il quantitatif ou qualitatif ?
2) Calculer la fréquence de la classe [20;30[.
3) a- Quel est le pourcentage des malades de moins de 30 ans ?
b) Donner dans un tableau, les centres et les fréquences des classes exprimées en pourcentage.
c) Calculer la moyenne de cette série statistique.
4) Construire l’histogramme des effectifs de cette série. (1cm pour 10 ans ; 1cm pour 10 malades).

Problème

On considère la fonction numérique f définie sur \R~par
~f(x)=e^{-x}-e^{-2x}.
On note (C) sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthogonal (O,\vec{i},\vec{j}) (unité graphique : 2cm).

1.a) Montrer que pour tout x de \R,~ \\ f(x)=e^{-x}(1-e^{-x})
b) En déduire la limite de f en -\infty.
2.a) Calculer la limite de f~en~+\infty.
b) En déduire que l’axe des abscisses est une asymptote à(C).
3.a) Etudier le signe de -1+2e^{-x}~sur~ \R.
b) Calculer f'(x),f’ étant la fonction dérivée de f.
c) Etudier le sens de variation de f et dresser son tableau de variation.
4.a) La courbe (C) rencontre l’axe des abscisses en un point A. Déterminer les coordonnées de A.
b- Déterminer une équation de la tangente (T) à (C) en O, origine du repère.
5) Construire la tangente (T) et la courbe (C).
On donne :
e\backsimeq 2,7~\\e^{-1}\backsimeq 0,37 \\e^{-2} \backsimeq 0,14 ~\\ \ln2 \backsimeq 0,7