Exercices – Généralité sur les fonctions – Tle S
Exercice 1
Déterminer les limites suivantes :
a) \lim\limits_{\substack{x \rightarrow 1 \\ x>1}} \dfrac{x-4}{1-x^2}~~
b) \lim\limits_{\substack{x \rightarrow +\infty}} \dfrac{x-4}{1-x^2}~
c) ~\lim\limits_{\substack{x \rightarrow +\infty}} \sqrt{9x^2+3}-3x
d) \lim\limits_{\substack{x\rightarrow \tfrac{\pi}{6}}} \dfrac{2\sin (x)-1}{6x-\pi}
e) sachant que 0 \leq f(x)-1 \leq |2\sin 3x| ~ sur l’intervalle ] 1 ; 10[ déterminer \lim\limits_{\substack{x\rightarrow \tfrac{\pi}{3}}}f(x)
Exercice 2
Soit f:~[0;+\infty[ \rightarrow \R \\ x \mapsto \dfrac{x^2}{1+x^2}
- Démontrer que f est une bijection de [0;+\infty [ sur un intervalle K que l’on précisera.
- Déterminer la bijection réciproque f^{-1}. Quel est le sens de variation de f^{-1}~~?
Exercice 3
a) f(x)=\dfrac{x+1}{(x^2+2x)^3} ;~Déterminer une primitive F de f
Exercice 4
Soit la fonction f, définie par f(x)=(\sin^2 x-3\sin x+8)\cos x
Déterminer sur \R~ la primitive F de f telle que F(\dfrac{3\pi}{2})=0
Excercice 5
- Montrer que :
x^3+5x^2+7x+4=(x+3)(x^2+2x+1)+1 - En déduire une primitive de la fonction f définie par :
f(x)=\dfrac{x^3+5x^2+7x+4}{x^2+2x+1}~ sur ~]-\infty;1[
Exercice 6
Soit f la fonction numérique définie par : f(x)=x\sqrt{1-x}
1.a) Déterminer l’ensemble de définition de f .
b) Etudier la dérivabilité de f en 1 et interpréter graphiquement le résultat obtenu.
c) Montrer que f est dérivable sur ]-\infty;1[~ et que ~f'(x)=\dfrac{2-3x}{2\sqrt{1-x}}~Pour tout x<1.
d) Dresser le tableau de variation de f.
e) Représenter graphiquement la fonction f.
2.a) Montrer que l’équation f(x) =\dfrac{-1}{3\sqrt3}~ admet une seule solution x_1 ~dans~]-\infty;0]~ et que ~ -\dfrac{1}{3}<x_1<0
b) Montrer que l’équation f(x)=\dfrac{1}{3\sqrt3}~ admet exactement deux solutions x_2 ~et~x_3 ~ dans ~[0;1]
3.a) On pose u=\dfrac{3}{2}(x-\dfrac{1}{3}). Montrer que l’équation (E) :|x\sqrt{1-x}|=\dfrac{1}{3\sqrt3} ~ est équivalente à :
(E’): 8u^3-6u-1=0.
b) Pour i = 1, 2, 3, on pose u_i=\dfrac{3}{2}(x_i-\dfrac{1}{3}).~ Montrer qu’il existe un unique réel \theta_i ~de~[0;\pi] ~tel que~ u_i= \cos \theta_i
c) Prouver que \cos 3\theta= 4\cos^3 \theta- 3\cos\theta ~pour tout ~ \theta~ réel.
(On rappelle que \cos(a+b)=\cos a. \cos b – \sin a. \sin b ~et~\sin 2a = 2sin a. \cos a)
d) Déduire des questions précédentes que (E’) est équivalente à l’équation \cos 3 \theta=\dfrac{1}{2}.~
Résoudre cette équation dans [0; \pi]~ et en déduire les valeurs exactes dex_1,x_2~et x_3
Exercice 7
A. Soit f la fonction définie sur \R –{-2} ~par~f(x)= \dfrac{1-x^2}{2+x}
- Pour tout x réel différent de −2, trouver trois réels a, b , c tels que f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x+2}
- Etudier les variations de f et tracer sa courbe représentative (C) dans un repère orthogonal.
- . Montrer que si (C) admet un centre de symétrie, alors on peut déterminer son abscisse. Démontrer que (C) admet un centre de symétrie.
B. Soit \varphi~ la fonction définie sur \R ~par~ \varphi(t)=\dfrac{1-\sin^2 t }{2+\sin t}
1) Pour tout réel t, montrer que \varphi(\pi-t)=\varphi(t)~ Expliquer comment l’étude des variations de \varphi ~sur~[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}]~permet de construire la courbe représentative de \varphi
2.a) On pose a=\sqrt3 -2.~Justifier l’existence et l’unicité de t_0 \in [-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}]~ tel que \sin (t_0)=a.
b) En utilisant \varphi~ comme composée de fonctions, étudier les variations de \varphi ~sur~[-\dfrac{\pi}{2};t_0] ~puis sur~ [t_0; \dfrac{\pi}{2}]
c) Soit \varphi ‘ ~ la dérivée de \varphi .~ Pour tout nombre réel t, prouver l’égalité : \varphi ‘(t)=f'(\sin t) \cos t.~.
Retrouver alors les valeurs pour lesquelles \varphi ‘ t ~s’annule sur [-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}] .
d) Tracer la courbe représentative de \varphi ~sur [-\dfrac{3\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}].
Exercice 8
Partie A
Soit \varphi ~la fonction numérique de la variable réelle x telle que : \varphi (x)=\dfrac{3x^2+ax+b}{x^2+1}.~
Déterminer les réels a et b pour que la courbe représentative de \varphi~ soit tangente au point I de coordonnées (0 ; 3) à la droite (T) d’équation y = 4x + 3.
Partie B
Soit f la fonction numérique de la variable réelle x telle que :
f(x)=\dfrac{3x^2+4x+3}{x^2+1}~et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormal d’unité graphique 2 cm.
- Montrer que pour tout x réel, on a f(x)=\alpha+\dfrac{\beta x}{x^2+1}; \alpha ~et~ \beta~étant deux réels que l’on déterminera.
- Etudier les variations de f. Préciser ses limites en l’infini et en donner une interprétation graphique. Dresser le tableau de variations de f.
- Déterminer l’équation de la droite (T) tangente à la courbe (C) au point I d’abscisse 0. Etudier la position de (C) par rapport à (T).
- Démontrer que I est centre de symétrie de (C).
- Construire la courbe (C) et la tangente (T) dans le repère proposé.
Exercice 9
On considère dans le plan rapporté à un repère orthonormé R=(O;\vec{i};\vec{j}~) le cercle de \varGamma~de centre O et de rayon 1. Soient les points de \Gamma : A (1 ; 0) et A’(−1 ; 0).
1) Par tout point H du segment [AA’], distinct de A et de A’ on mène la perpendiculaire \Delta à la droite (AA’). La droite \Delta~coupe le cercle \Gamma en M et M’. On pose \overline{OH}=x~Calculer l’aire du triangle AMM’.
2) Soit f la fonction définie sur [-1;1]~ par~f(x)=(1-x)\sqrt{1-x^2}~ et (C) sa courbe représentative dans R (unités graphiques 4 cm).
a) Etudier la dérivabilité de f en −1 et en 1. En déduire les tangentes à (C) aux points d’abscisses −1 et 1.
b) Dresser le tableau de variations de f.
c) Tracer (C).
3) Montrer que le triangle AMM’ d’aire maximale est équilatéral.
4) Discuter graphiquement suivant les valeurs de m réel le nombre de solutions de l’équation f(x)=m
5) On considère la courbe (U) donnée par l’équation y^2-(1-x)^2(1-x^2)=0.~ Montrer que (U) est constituée de deux courbes (C) et (C’) , (C’) étant l’image de (C) par une transformation que l’on précisera.
