Exercices – Probabilités – Tle S

Exercice 1

Une urne contient 3 boules jaunes, cinq boules rouges et deux boules vertes.
A)On tire simultanément trois boules de l’urne.
1) Quelle est la probabilité d’avoir un tirage unicolore ?
2) Quelle est la probabilité d’avoir exactement deux boules de même couleur ?

B. On tire successivement sans remise trois boules.
1) Quelle est la probabilité d’avoir des boules rouges uniquement ?
2) Quelle est la probabilité de ne pas avoir une boule verte au deuxième tirage ?

Exercice 2

Trois options sont offertes aux élèves d’une classe : espagnol, latin, musique.
Chaque élève choisit une ou deux options. Le schéma ci-dessous indique le nombre d’élèves pour chaque combinaison d’options possible.

On choisit un élève au hasard dans cette classe.
Déterminer la probabilité des évènements suivants :

  1. L’élève étudie l’espagnol,
  2. L’élève étudie uniquement l’espagnol,
  3. L’élève étudie l’espagnol et le latin
  4. L’élève étudie l’espagnol ou le latin
  5. L’élève étudie uniquement une des deux langues : espagnol ou latin (il peut éventuellement faire aussi de la musique),
  6. L’élève étudie une seule des trois options.

Exercice 3

Un cirque possède 10 fauves dont 4 lions
Pour chaque représentation, le dompteur choisit 5 fauves au hasard.
Soit X la variable aléatoire qui décompte le nombre de lions présentés au cours d’une représentation.

  1. Déterminer la loi de probabilité de X. on donnera les résultats sous forme de fractions.
  2. Calculer E(X) l’espérance mathématiques de X. interpréter ce résultat

Exercice 4

On suppose que la probabilité de faire un garçon est \dfrac{1}{4} . Une famille a 5 enfants.
Calculer la probabilité pour qu’il y ait exactement 3 garçons.

Exercice 5

1) Un dé A, bien équilibré possède :

  • Une face numéroté 1 ;
  • Deux face numérotées 2 ;
  • Une face numéroté 4 ;
  • Une face numéroté 5 ;
  • Une face numéroté 6 ;

a) On lance une fois le dé A et on lit le numéro inscrit sur la face supérieur.
Quelle est la probabilité d’obtenir le numéro 2 ?
b) On lance 3 fois de suite le dé et on note de la gauche vers la droite les chiffres obtenus successivement. On obtient ainsi un nombre de trois chiffres.
Quelle est la probabilité d’obtenir le nombre 421 ?

1) Un autre dé B, bien équilibré possède :

  • Une face numéroté 1 ;
  • Deux face numérotées 2 ;
  • Deux face numérotées 4 ;
  • Une face numéroté 6 ;

On lance 3 fois de suite le dé A comme à la question 1.b)
Vérifier que la probabilité d’obtenir le nombre 421 est égale à \dfrac{1}{54} .

2) Une urne contient 4 dés identiques au dé A et 6 dés identiques au dé B.
Chahed tire au hasard un dé de l’urne et le lance 3 fois de pour obtenir un nombre à 3 chiffres comme décrit précédemment.
a) Démontrer que la probabilité d’obtenir 421 est égale à \dfrac{2}{135}
b) Chahed a obtenu 421 ; calculer la probabilité qu’il ait joué avec un dé de type A.

Exercice 6

Un sac contient 10 jetons indiscernables au toucher dont 4 rouges, 3 blancs et 3 noirs. On tire simultanément et au hasard 3 jetons du sac.
Calculer les probabilités des évènements suivants :
A : <<avoir un tirage tricolore>>
B : <<avoir exactement deux jetons rouges>>
C : <<avoir au moins un jeton rouges>>
D : <<les jetons ne sont pas tous de mêmes couleurs>>

Exercice 7

Le tableau suivant donne la répartition des 150 stagiaires en fonction de la langue et de l’activité sportive choisie :

Les évènements suivants sont-ils indépendants ?
a) <<Etudier allemand>> et<<pratiquer football>>
b) <<Etudier anglais>>et<<pratiquer hand-ball>>

Exercice 8

On lance trois fois de suite une pièce de monnaie parfaitement équilibrée.
1) Définir l’ensemble des éventualités.
2) Déterminer la probabilité des évènements élémentaires de Ω .
3) On considère la variable aléatoire X donnant le nombre de côtés <<faces>> obtenus.
a) Quelle sont les valeurs prises par X.
b) Calculer P(X = 2).
c) Déterminer la loi de probabilité de X.
d) Déterminer G, la fonction de répartition de X.

Exercice 9

Une étude statistique effectuée en 1982 à Niamey montre que 25% des habitants de cette ville sont malvoyants et que ce taux restera probablement constant pendant au moins un siècle.
On choisit 14 habitants au hasard à Niamey et on désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de malvoyants parmi les habitants ainsi choisis.

a) Déterminer la lois de probabilité de X
b) Déterminer la probabilité d’avoir au moins un habitant malvoyant.
c) Déterminer l’expérience mathématique et l’écart type de X.

Exercice 10

Deux joueurs Ali et Natan lancent chacun une fois un même dé cubique parfait dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Le joueur qui gagne est celui qui obtient un nombre strictement supérieur à celui de l’autre. La partie est nulle si les deux joueurs obtiennent le même nombre.

  1. Dans cette question On pose que Natan a obtenu le nombre 4.
    Quelles est la probabilité qu’il gagne ?
  2. Calculer la probabilité que Natan gagne.
  3. Le joueur qui gagne reçoit en francs, la somme des nombres obtenus par les deux joueurs. Soit X la variable aléatoire égale à la somme reçue par Natan (X=0 si la partie est nulle ou si Ali gagne).
    a) Déterminer la loi X
    b) Calculer E(X).
    c) Pour avoir le droit de jouer, Natan doit verser la somme de 5F. Le jeu est-il avantageux pour ce joueur ?

Exercice 11

Une urne U contient une boule portant le numéro 1 et deux boules portant le numéro 2. Une urne V contient une boule portant le numéro 4 et n boules portant le numéro 3. On tire au hasard une boule de U, une boule de V et on désigne par X la variable aléatoire qui à chaque tirage associe la somme des numéros portés par les deux boules.
1. Déterminer en fonction de n la loi de probabilité de X.
2. Calculer en fonction de n l’espérance mathématique Ε (X).
3. Déterminer n pour que : Ε (X) = \dfrac{59}{12}
4. Déterminer la plus petite valeur de n pour laquelle Ε (X) < 4,8.

Exercice 12

1) Reproduire et compléter le tableau suivant :

Une boite contient 12 cartons, indiscernable toucher, portant les 12 nombres complexes du tableau précédent (Chaque carton porte un seul nombre complexe) :
2) on tire au hasard un carton de la boite (on suppose l’équiprobabilité des tirages).
a) quelle est la probabilité de tirer un carton portant un nombre réel ?
b) quelle est la probabilité de tirer un carton portant un nombre complexe dont le module est égal à \sqrt2~ ?
c) quelle est la probabilité de tirer un carton portant un nombre complexe dont un argument \theta est tel que : 0 \leq \theta \leq \dfrac{\pi}{2} ~ ?
3) un jeu consiste à tirer un carton de la boite précédente. Si le nombre complexe inscrit sur le carton tiré est de module 3, le joueur gagne 10 000 points et le jeu s’arrête. Sinon, le carton tiré est remis dans la boite et le joueur procède à un deuxième tirage ; si ce carton porte un nombre complexe de module 3, le joueur gagne 8000 points, s’il est de module 2, il gagne 5000 points sinon il ne gagne rien et le jeu s’arrête.
Soit x la variable aléatoire au gain du joueur.
a) Donner la loi de probabilité de X (on pourra s’aider d’un arbre).
b) Calculer l’espérance mathématique de E(X).