Exercices - Coniques - Tle - Ogooue education

Exercice 1

Soit $(P)$ la parabole d’équation $y^2=2px$ dans un repère orthonormé $(O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ .
Soit $\alpha$ un réel. Une droite $(D)$ de vecteur $\alpha \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}$ passe par le foyer $F$ de la parabole $(P)$ et coupe cette parabole en deux points $M’$ et $M”$
1) Déterminer, en fonction de $\alpha$ les coordonnées du milieu $K$ de $[ M’M"]$
2) Déterminer l’ensemble des points $K$ lorsque $\alpha$ décrit $\R.$

Exercice 2

Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ .
Soit $F(2~,~0)$ et $D$ la droite d’équation $x = - 2$
1) Ecrire une équation cartésienne de la parabole $P$ de foyer $F$ et de directrice $D.$
2) Soit $m$ un réel donné et $(T)$ le point de la parabole $P$ d’ordonné $m$ et d’abscisse $x.$
a) Exprimer $x$ en fonction de $m$
b) Donner une équation de la tangente à $P$ au point $T$ en fonction de $m$ .
3) Montrer que si $T$ et $T’$ sont deux points distincts de $P$ d’ordonnées respectives $m$ et $m’$ , les tangentes à $P$ en $T$ et $T’$ sont sécantes. Soit $I$ leur point d’intersection. Déterminer les coordonnées de $I$ en fonction de $m$ et $m’.$

Exercice 3

Soit $t$ un réel de $[0~;~2\pi[$ et l’ellipse $E$ de représentation paramétrique :
$\begin{cases} x=2 \cos t \\ y = \sin t \end{cases}$ dans un repère orthonormé $(O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ .
1.a) Ecrire une équation cartésienne de l’ellipse $E$ .
b) Ecrire une équation cartésienne de la tangente à l’ellipse $E$ au point $M_0$ de paramètre $t_0$ .
2) Soit $F$ le foyer d’abscisse $c > 0$ et soit $D$ la droite dont une équation cartésienne est $x = \dfrac{4}{c}.$ On suppose que $t_0 \neq 0$ et $t_0 \neq π.$ Déterminer en fonction de $t_0$ , les coordonnées du point $K$ d’intersection de la tangente en $M_0$ à $E$ de la droite $D$ .
3) Montrer que les droites $(M_0 F)$ et $(FK)$ sont perpendiculaire.

Exercice 4

Soit dans un repère orthonormé $(O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ l’hyperbole $(L)$ d’équation :
$\dfrac{x ^ 2}{a ^ 2} – \dfrac{y ^ 2}{b ^ 2} = 1$
Soient le foyer $F$ d’abscisse $c > 0$ et $(D)$ la droite d’équation : $x = \dfrac{a ^ 2}{c}$
1) Soit $M$ un point de $(L)$ et $H$ le projeté orthogonal sur la droite $(D)$ .
Montrer que $\dfrac{MF}{MH}=\dfrac{c}{a}$
2) Soit $M$ un point de $(L)$ de coordonnées $x_0$ et $y_0$ , avec $y_0\neq0$ .
Déterminer les coordonnées du point $K$ d’intersection de la tangente en $M$ à $(L)$ et la droite $D.$
3) Montrer que les droites $(FM)$ et $(FK)$ sont perpendiculaires.

Exercice 5

Soit $(O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ un repère orthonormé du plan et $f:P→ P : \\ M(z)→ M'(z’) / z’=2z-z^2.$
1) Soit $M_1$ et $M_2$ les points d’affixes respectives $z^2$ et $2z$ où $z \in C.$
Montrer que $OM_1M_2M’$ est un parallélogramme.
2) Soit $H$ l’ensemble des points $M(z)$ tels que $z’$ soit un nombre imaginaire.
a) Déterminer une équation cartésienne de $H.$
b) Montrer que $H$ est une hyperbole passant par $O.$
c) Ecrire une équation cartésienne de la tangente $(T)$ à $H$ en $O.$

Exercice 6

Soit $u$ un nombre complexe et $(E_m)$ l’équation :
$z^2-(2u- i\overline{u})z-2iu \cdotp \overline{u} =0.$
1) Résoudre dans $C$ , l’équation $(E_u)$ . On désignera par $z’$ et $z"$ les solutions de cette équation.
2) On rapporte le plan à un repère orthonormé direct $(O, \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$ et on désigne par $A$ , $M$ , $M’$ et $M"$ les points d’affixes respectives $2i$ , $u$ , $z’$ et $z"$ . Soit $H$ l’ensemble des points $M$ tels que les points $A$ , $M’$ et $M"$ soient alignés.
a) Trouver une équation cartésienne de $H$ .
b) Montrer que l’ensemble $H$ est une hyperbole dont on précisera le centre, les sommets, les foyers et les asymptotes.
c) Vérifier que $H$ passe par le point $O$ et donner une équation cartésienne de la tangente à $H$ en $O$ .
d) Tracer $H$ .

Exercice 7

à tout réel $m \in ]0 ~;~1[$ on associe dans un plan $(P)$ rapporté à un repère orthonormé $(O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ la conique $(E_m)$ d’équation $y^2 = 2x – \dfrac{x^2}{m}$
1) Déterminer et construire $(E_{3/4})$
2) Quelle est la nature de $(E_m)$ ?
Déterminer par leurs coordonnées dans $(O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ , le centre et les sommets de $(E_m)$ .
3) Déterminer et tracer la courbe $(Г)$ constituant l’ensemble des sommets du grand axe de $(E_m)$ quand $m$ varie dans $]0~;~1[$ .
4.a) Déterminer par leurs coordonnées dans $(O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ les foyers de $(E_m)$
b) Déterminer la courbe $(C)$ constituant l’ensemble de ces foyers quand $m$ varie dans l’intervalle $]0~;~1[$

Exercice 8

Le plan $(P)$ est rapporté à un repère orthonormé $(O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ . Soit $(Г)$ l’ensemble des points $M(x;y)$ vérifiant : $4x |x| + y^2 -16x-20=0$
1) Montrer que $(\Gamma)$ est la réunion d’une partie d’une conique $(C_1)$ et d’une partie d’une conique $(C_2)$
2) Déterminer pour chacune des coniques $(C_1)$ et $(C_2)$ la nature, le centre, les sommets et éventuellement les asymptotes
3) Montrer qu’en chacun des points où les courbes $(C_1)$ et $(C_2)$ coupent le droite $(O, \overrightarrow{j})$ elles ont même tangente.

Exercice 9

On considère l’ensemble $(Г)$ des points $M$ du plan dont les coordonnées $(x;y)$ dans le repère orthonormé $(O, \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$ satisfont à la relation :
$\dfrac{y^4}{16}=x^4-2x^2 +1$
1) Démontrer que $(Г)$ est la réunion de deux coniques
2) Tracer $(\Gamma)$ en précisant leurs axes, leurs sommets, leurs foyers et leur asymptotes éventuelles.

Exercice 10

Le plan $(P)$ est rapporté à un repère orthonormé $(O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ . A tout nombre réel $m$ , on associe l’ensemble $(C_m)$ des points $M(x;y)$ dont les coordonnées vérifient l’équation :
$mx^2- 4mx - (m- 1) y^2+2=0$
Etudier suivant $m$ , la nature de $(C_m)$

Exercice 11

Le plan $(P)$ est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$ .
1) Pour tout point $M$ du plan, on note $z$ son affixe
a) Vérifier que l’ensemble des points $M$ tels que $\overline{z} + z + 4 = 0$ est une droite $(D)$ , tracer $(D)$ .
b) Démontrer que, pour tout point $M$ de $(P)$ la distance de $M$ à $D$ est : $\dfrac{1}{2}|z + \overline{z} +4|$
2) On note $F$ le point d’affixe $(1 + i)$ , $P’$ le plan $P$ privé de la droite $D$ .
Soit $(E)$ : l’ensemble des points $M$ , d’affixe $z$ de $P’$ tels que :
$|\dfrac{z-1-i}{z+ \overline{z} + 4}| = \dfrac{\sqrt2}{4}$
a) Démontrer que $(E)$ est une conique dont on précisera l’excentricité
b) Vérifier que $(E)$ passe $O$ .