Corrigé sujet 2 – Tle S
Exercice 1
u=e^{i\tfrac{2\pi}{5}}; \\ \alpha=u+u^4; \\ \beta=u^2+u^31) Démontrons que :
1+u+u^2+u^3+u^4=0
1+u+u^2+u^3+u^4 \\ =u^0+u^1+u^2+u^3+u^4~ qui représente la somme des termes consécutifs d’une suite géométrique de premier terme u^0=1,~de raison u et de dernier terme u^4~ donc :
u^0+u^1+u^2+u^3+u^4 \\ =\dfrac{u^0(1-u^5)}{1-u},~ avec~u\not= 1
= \dfrac{1-e^{i2\pi}}{1-e^{i\tfrac{2\pi}{5}}}=\dfrac{1-1}{1-e^{i\frac{2\pi}{5}}}=0~
donc~1+u+u^2+u^3+u^4=0~
Déduisons en que ~\alpha et~\beta~sont solutions de l’équation
~(1): z^2+z-1=0
Calculons S=\alpha + \beta~et~P=\alpha \beta \\ \alpha+\beta=(u+u^4)+(u^2+u^3) \\=(1+u+u^2+u^3+u^4) \\ =0-1 \\ =-1
D’où~S~=-1
D’où P=-1~donc~S=\alpha+ \beta~et~P=\alpha \beta
Par suite, \alpha ~et~\beta~sont solutions de l’équation :
z^2-(-1)z+(-1)=0~donc ~\alpha~et~\beta~sont solutions de l’équation :
(1): z²+z-1=0
2) Déterminons \alpha~en fonction de~\cos \dfrac{2\pi}{5}
3) Résolution de l’équation :
(1):z^2+z-1=0
Soit \Delta~le discriminant de (1):
\Delta=(1)^2+4=5~
les solutions de l^’ équation (1) sont : \begin{cases}z_1=\dfrac{-1-\sqrt5}{2} \\ z_2=\dfrac{-1+\sqrt5}{2}\end{cases}
L’ensembledes solutions de (1)est donc
Déduisons en la valeur exacte de \cos \dfrac{2\pi}{5}
\alpha=2\cos \dfrac{2\pi}{5}
Comme \alpha~ est solution de (1)
Or 0<\dfrac{2\pi}{5}<\dfrac{\pi}{2}; donc \cos \dfrac{2\pi}{5}>0~et par la suite
~\alpha =2\cos \dfrac{2\pi}{5}=\dfrac{-1+\sqrt5}{2}D’où \cos \dfrac{2\pi}{5}=\dfrac{-1+\sqrt5}{4}
Exercice 2
Urne A (6boules)\begin{cases} n°1 \rightarrow ~3~boules \\ n°2 \rightarrow~2~boules \\ n°3 \rightarrow~1~boule\end{cases}
Urne B (4boules)\begin{cases} n°1 \rightarrow~1~boule \\ n°2 \rightarrow~1~boule \\ n°3 \rightarrow~2~boules~\end{cases}
1) Soit \Omega~l’univers associé à l’épreuve.
On a card\Omega=C_6^1 \times C_4^1=6 \times 4=24
Soit E l’évènement ‘‘les boules portent deux nombres différents’’.
Faisons un tableau :
a) Probabilité pour que la somme nombres portés par les boules soit paire
Soit F l’évènement ‘’la somme des nombres portés par les boules soit paire’’
b) Probabilité pour que l’urne B ne contiennent que des boules portant le même nombre.
Trois situations sont à envisager :
1e cas : les 4 boules de l’urne B portent toutes le nombre 1.
Alors 3 boules portant le n° 1 ont été tirées de A pour B, puis 3 boules ne portant pas le n°1 ont été tirées de B pour A.
Appelons H le 1er événement et G le second
La probabilité cherchée est : p(H et G)
p(H~et~G)=p(H)\times ~p(\dfrac{G}{H}) \\ =\dfrac{C_3^3}{C_6^3} \times\dfrac{C_3^3}{c_7^3}=\dfrac{1}{700}
2ème cas : les 4 boules de l’urne B portent toutes le nombre 2. Cet événement est impossible.
3ème cas : les 4 boules de l’urne B portent toutes le nombre 3. Cet événement est impossible.
La probabilité cherchée est alors :
q=\dfrac{1}{700}+0+0=\dfrac{1}{700}
3.a) Loi de probabilité de X
L’ensemble des valeurs prises par
X={1;2;3}~ \\ p(X=1)=\dfrac{C_2^0 \times C_4^4}{C_6^4}
il s’agit de la probabilité de tirer de A zéro boule portant le nombre 2
p(X=2)=\dfrac{C_2^1 \times C_4^3}{C_6^4}=\dfrac{8}{15}
p(X=3)=\dfrac{C_2^2 \times C_4^2 }{C_6^4}=\dfrac{6}{15} = \dfrac{2}{5}
Faisons un tableau :
b) Calcul de l’espérance mathématiques de E(X) et de l’écart-type \sigma(X)
Problème
f(x)=1+e^{-x}-2e^{-2x};D_f=\RPartie A
P(X)=1+x-2x^2; D_P=\R
1) \Delta =9
2)
Alors le signe de f(x) dépend de celui de 1-e^{-x}
1-e^{-x}>0,~ \forall ~~x >0
Par conséquent:
On en déduit que :
Sur~]-\infty;0[~,~(C)~est en dessous de l’axe des abscisses
Sur ]0;+\infty[~,~ (C)~est au dessus de l’axe des abscisses.
Partie B
1) \begin{cases}\lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}}e^{-x}=0 \\ \lim\limits_{\substack{x\rightarrow -\infty}}e^{-2x}=0 \end{cases}
Alors \lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}}f(x)=1~
On en déduit que : (C) admet une asymptote horizontale d’équation y=1 au voisinage de +\infty
2) f(x)=1+e^{-x}-2e^{-2x};D_f=\R \\ =e^{-2x}(\dfrac{1}{e^{-2x}}+\dfrac{e^{-x}}{e^{-2x}}-2)
Donc f(x)=e^{-2x}(e^{2x}+e^{x}-2)
On en déduit que :\lim\limits_{\substack{x\rightarrow -\infty}}f(x)=-\infty
Car \begin{cases}\lim\limits_{\substack{x\rightarrow -\infty}}e^{-2x}=+\infty \\ \lim\limits_{\substack{x\rightarrow -\infty}}e^{2x}=0 \\ \lim\limits_{\substack{x\rightarrow -\infty}}e^x=0\end{cases}
3.a) f'(x)=-e^{-x}+4e^{-2x}
b) f'(x)=e^{-2x}(-e^x+4)
\forall ~~x \in \R, ~e^{-2x}>0
Alors f'(x) a le même signe que (4-e^x)
4-e^x>0 \Rightarrow x<2\ln 2
Par conséquent :
\forall ~~x \in ~ ]-\infty;2 \ln 2[,f'(x)>0
\forall ~~x \in ~]2 \ln 2;+\infty[,f'(x)<0
On en déduit que :
Sur]-\infty;2\ln 2[, f~est croissante
Sur ]2\ln 2;+\infty[,f~est décroissante
c) tableau de variation de f
4.a) (T_0):y=f'(0)(x-0)+f(0)~
Alors (T_0):y=3x
b)
c) f(x)-y=e^{-2x}(e^x-2)~ \\ \forall ~~x \in \R,e^{-2x}>0~
Alors le signe dépend de celui de :
x^2-2\\ e^x-2>0 \Harr x>\ln 2
Par conséquent :
\forall ~~x \in ~]-\infty;\ln 2[,f(x)-y<0
\forall ~~x \in ~]\ln 2;+\infty[,f(x)-y>0
On en déduit que :
Sur ]-\infty; \ln 2[,(C)~est en dessous de~(D)
Sur ]\ln 2;+\infty[,(C)~est au dessus de~(D)
5) (T):y=f'(\ln 2)(x-\ln 2)+f(\ln 2) \\ (T):y=\dfrac{1}{2}x+1-\dfrac{\ln 2}{2}
6) f(-\ln 2)=-5
(C) passe par le point de coordonnées (-ln2;-5)
Partie C
1)
2) \lambda >\ln 2; \\ A(\lambda)=4\displaystyle{\int_{\ln 2}^{\lambda}}[f(x)-1]dx
a) A(\lambda)~est l’air en cm2 du domaine plan limité par la courbe (C), la droite (D)et les droites d’équations x=\ln 2~et~x=\lambda.
b)
3)