Sujet 2 – Tle S

Exercice 1

Soit : u=e^{i\tfrac{2\pi}{5}}, \\ a=u+u^4
et \beta = u^2+u^3
1) Démontrer que 1+u+u^2+u^3+u^4=0~ et en déduire que a et \beta sont solutions de l’équation :
(1):z^2+z-1=0.
2) Déterminer a en fonction de \cos \dfrac{2\pi}{5}
3) Résoudre l’équivalent (1) et déduire la valeur exacte de \cos \dfrac{2\pi}{5}

Exercice 2

Une urne A contient six boules dont trois portent le nombre 1, deux le nombre 2 et une, le nombre 3.
Une seconde urne B contient quatre boules dont une porte le nombre 1, une le nombre 2 et deux le nombre 3.
Toutes les boules sont indiscernables au toucher et on se met dans l’hypothèse d’équiprobabilité.
1) On tire une boule de l’urne A et une boule de l’urne B. Quelle est la probabilité
a) pour qu’elle porte deux nombres différents ?
b) Pour que la somme des nombres marqués sur les deux boules soit paire
2) On tire simultanément trois boules de A et on les remet dans B puis trois boules de B qu’on remet dans A
Quelle est la probabilité pour que l’urne B ne contienne que des boules portant le même nombre après l’opération ?
3) On tire simultanément quatre boules de A et on les remet dans B. soit X la variable aléatoire qui prend pour valeurs le nombre de boules de B portant le nombre 2 à la suite de cette opération.
a) Déterminer la loi de probabilité de X
b) Calculer l’expérience mathématique et l’écart type de X

Problème

On considère la fonction f définie sur \R~par :
f(x)=1+e^{-x}-2e^{-2x}~ et (C) sa courbe représentative dans un plan rapporté à un repère orthogonal (O,\vec{i},\vec{j})~(unité graphique : 2cm)

Partie A
Soit le polynôme P défini sur \R ~par :
P(x)=1+X_0-2X^2

1. Etudier le signe de P(x) en fonction de X
2. En déduire le signe de f (x) sur \R
3. Que peut-on en déduire pour la courbe (C) ?

Partie B

1) Déterminer la limite de la fonction f en +\infty.
Qu’en déduire pour la courbe (C) ?
2) Vérifier que f(x)=e^{-2x}(e^{2x}+e^x-2),~ puis déterminer la limite de f en -\infty.
3) Soit f ‘ la fonction dérivée de la fonction f.
a) Calculer f ‘(x) pour tout réel x.
b) Montrer que f ‘(x) a le même signe que (4- e^x ).
En déduire le signe de f'(x) pour tout réel x.
c) Dresser le tableau de variations de f. On montrera que le maximum est un nombre rationnel.
4.a) Déterminer une équation de la tangente (T₀) à la courbe (C) au point d’abscisse O.
b) Démontrer que la courbe (C) et la droite (D) d’équation y = 1 n’ont qu’un point Intersection A dont on déterminera les coordonnées
c) Etudier la position de la courbe (C) par rapport à la droite (D).
5) Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (C) au point A.
6) Tracer les droites (D) ; (T₀) et (T), puis la courbe (C). On précisera le point de (C)d’abscisse –\ln⁡2.

Partie C

1) Calculer l’aire, en cm², de la partie de plan limité par la courbe (C), l’axe des ordonnées et la droite (D).
2) Soit \lambda ~un réel strictement supérieur à \ln 2.
On pose A(\lambda)=4\displaystyle{\int_{\ln 2}^{\lambda}}[f(x)-1]dx.
a) Donner une interprétation géométrique de A(\lambda) ~
b) Calculer A(\lambda) .~
En déduire \lim\limits_{\substack{\lambda \rightarrow +\infty}} A(\lambda) .
3) Calculer le volume V en unité de volume du solide de révolution obtenue par rotation autour de l’axe des abscisses de la portion de la courbe (C) correspondant à :
–\ln 2 \leq x \leq 0.