Sujet 4 – Tle S
Exercice 1
Un sac contient 6 boules rouges numérotés de 1 à 6 et trois boules blanches numérotés de 1 à 3. On extrait deux boules simultanément qui portes les numéros a et b. On admet l’équiprobabilité des tirages.
1) Quelle est la probabilité d’obtenir a = b.
2) Quelle est la probabilité pour que les boules tirées soient de couleurs différentes ?
3) Soit X la variable aléatoire définie comme suit : si les deux boules sont blanches, X prend la valeur a+b ; si les deux boules sont rouges, x prend la valeur |a-b| ; si les deux boules sont différentes, X prend la valeur 0.
a) Déterminer l’ensemble des valeurs que peut prendre X.
b) Déterminer la loi de probabilité de X.
Calculer la probabilité des événements suivants :
{{X \leq 1}} et {{2 \leq X \leq 4}}.
Exercice 2
On considère la fonction f de \R \rightarrow \R ~définie par :
f(x)=|4x^2-1|^{\dfrac{3}{4}} . On note (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,\vec{i},\vec{j}), unité graphique : 1 cm.
1) Déterminer l’ensemble de définition D_f~ de f.
2) Montrer que f est paire et en déduire une réduction de l’ensemble d’étude de f à E=D_f \cap \R_+.
3) Déterminer les limites de f en \dfrac{1}{2}~et en~+\infty.
4) Peut-on prolonger f par continuité en x_0=\dfrac{1}{2} ?
5) Etudier la dérivabilité de f à gauche et à droite en \dfrac{1}{2}.~ Quelle conséquence géométrique peut-on en déduire ?
6) Etudier les variations de f sur E et dresser son tableau de variation sur E.
7) Construire la courbe représentative (C) de f.
Problème
Partie A
On considère la fonction numérique g définie sur ]0;+\infty[~par :
g(x)=1+x^2 -2x^2 \ln x
1) Dresser le tableau des variations de g.
2) Démontrer que l’équation g(x) = 0 admet une solution unique \alpha~telle que :
1,89<\alpha <1,90
3) Déduire de ce qui précède le signe de g(x)
Partie B
On considère la fonction numérique f définie sur ]0;+\infty[ ~par :
f(x)=\dfrac{\ln x}{1+x^2}
On désigne par (C) sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O,\vec{i},\vec{j}) \\ (||\vec{i}||=2cm; ||\vec{j}||=10 cm)
1) Calculer les limites de f en 0 et en +\infty~. En déduire les asymptotes à (C).
2) Dresser le tableau des variations de f.
3) Vérifier que f(\alpha)=\dfrac{1}{2a^2}.~
En déduire un encadrement de f(\alpha)~d’amplitude de~ 2 \times 10^{-3} .
4) Déterminer une équation de la tangente (T) à (C) en 1.
5) Tracer (T) et (C)
Partie C
On considère la fonction numérique F définie sur [0;+\infty[~par :
F(x)=\displaystyle{\int_{1}^{x}}f(t)dt
1) Montrer que F est dérivable sur ]0;+\infty~et préciser F'(x). En déduire le sens de variation de F.
2) Montrer que pour tout t \geq 1, \\ \dfrac{\ln t}{(1+t)^2} \geq f(t) \geq \dfrac{\ln t}{t^2}.
3) On pose I(x)=\displaystyle{\int_{1}^{x}} \dfrac{\ln t}{t^2}dx~
et~J(x)=\displaystyle{\int_{1}^{x}}\dfrac{\ln t}{(1+t)^2}dt.
a) A l’aide d’une intégration par parties calculer I(x).
b) A l’aide d’une intégration par parties et de l’égalité :
\dfrac{1}{t(t+1)}=\dfrac{1}{t}-\dfrac{1}{1+t};t >0~.
Calculer J(x).
c) En déduire que pour tout x>1; .
4) Soit x un réel strictement supérieur à 1.
a) Interpréter graphiquement F(x).
b) On pose A=\lim\limits_{\substack{x\rightarrow +\infty}}F(x).~Déduire de la question 3.c) que \ln 2 \leq A \leq 1 .
Partie D
Soit G la fonction définie sur ]0;+\infty[~par :
G(x)=F \tfrac{1}{x}-F(x)
1) Calculer G'(x) pour tout x > 0.
2) Vérifier que pour tout x, G(x) = 0.
3) Déduire de ce qui précède la limite de F en 0.
