Corrigé sujet 5 – Tle S

Exercice 1

1) z’_E= \dfrac{1}{2}(-i+\dfrac{1}{-i})=0

2) z= \dfrac{1}{2}(z+\dfrac{1}{z}) \\ \Leftrightarrow 2z^2 = z^2+1 \\ \Leftrightarrow z^2=1 \\ \Leftrightarrow z = \pm 1

3.a) \dfrac{z’+1}{z’-1}=\dfrac{\dfrac{1}{2}(z+\dfrac{1}{z})+1}{\dfrac{1}{2}(z+\dfrac{1}{z})-1} \\

=\dfrac{z^2+1+2z}{z^2+1-2z} =\dfrac{(z+1)^2}{(z-1)^2} \\

=(\dfrac{z+1}{z-1})^2

b) \dfrac{M’B}{M’A} =\dfrac{|1-z’|}{|-1-z’|} =|\dfrac{z’-1}{z’+1}|

=|\dfrac{z+1}{z-1}|^2 = (\dfrac{MB}{MA})^2

(\overrightarrow{M’A} , \overrightarrow{M’B})=arg(\dfrac{z’+1}{z’-1}) \\ =2arg(\dfrac{z+1}{z-1}) \\ =2 (\overrightarrow{MA}, \overrightarrow{MB})

4) M est un point de \Delta : \\ MA=MB \Rightarrow \dfrac{M’B}{M’A}=1^2=1 \\ \Harr M’B=M’A; ~~M’~est un point de ~\Delta.

5.a) M appartient à \varGamma :
(\overrightarrow{MA}, \overrightarrow{MB})=\pm \dfrac{\pi}{2} \\ \Rightarrow (\overrightarrow{M’A},\overrightarrow{M’B})=\pm 2\times \dfrac{\pi}{2}=\pm \pi donc M’ appartient à (AB).

b) Si M’ a pour affixe Z, où est M ?
Z=\dfrac{1}{2}(z+\dfrac{1}{z}) \Harr z^2-2Zz+1=0~ qui a toujours une ou deux solutions. Tous les points ont des antécédents par f, qu’ils soient sur [AB] ou non.

Exercice 2

1.a)

b) \lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0}}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0}} x \sin (\dfrac{1}{x})=0~
et 0 \in \R~ donc f est dérivable en 0 et on a f'(0)=0.

c) \forall ~x \not= 0,f'(x)=2x\sin (\dfrac{1}{x})-\cos (\dfrac{1}{x}) \\ =\lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0}}2x \sin (\dfrac{1}{x})-\cos (\dfrac{1}{x}) \\=\lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0}}2x \sin (\dfrac{1}{x})-\lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0}} \cos (\dfrac{1}{x})
Or quand x tend vers 0;\dfrac{1}{x}~tend vers~\infty~;alors que la fonction cosinus n’admet pas de limite en \infty~
donc \lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0}}f'(x)~ n’existe pas, par conséquent f’ n’est pas continue en 0.

2.a)

b) Parité de f
\forall ~x \in \R;-x \in \R \\ f(-x)=\dfrac{-x}{1+|-x|} \\ =\dfrac{-x}{1+|x|} \\ =-f(x)~ donc f est impaire

c) Dérivabilité de f en 0
\lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0}}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=1~donc f est dérivable en 0 et f ’(0)=0.

d) Il s’agit de montrer que f est continue et strictement croissante sur \R~et que ~f(\R)=[-1;1]

Problème

Partie A
g(x)=x-e^{x-1},D_g=\R

1.a) g'(x)=1-e^{x-1}
1-e^{x-1}>0 \Harr x<1
\forall ~x \in ]-\infty;1[,g'(x)>0
\forall ~x \in ]1;+\infty[,g'(x)<0
On en déduit que :
Sur ]-\infty;1[,~g~est croissante
Sur ]1;+\infty[,~g~est décroissante

b) g(1)=0.
g(1) est le maximum de g sur \R \\ \Harr \forall ~x \in \R, g(x) \leq g(1)=0
donc ~\forall ~x \in \R,~ g(x) \leq 0

c) \forall ~x \in \R,g(x) \leq 0 \\ \Harr x-e^{x-1} \leq 0 \\ \Harr xe^{-x}-e^{-1}\leq 0.~
donc ~\forall ~x \in \R, xe^{-x} \leq \dfrac{1}{e} d’autres parts :
xe^{-x}\leq \dfrac{1}{e} \Harr xe^{-x} \leq \dfrac{1}{e} \leq 1~
d’où ~ \forall ~x\in \R,1-xe^{-x}>0

2) f(x)=\dfrac{1}{1-xe^{-x}}

a) D_f= { x\in \R/1-xe^{-x}>0}
1-xe^{-x} \not= 0~ est toujours vrai car
\forall ~x \in \R, 1-xe^{-x}>0~ et donc ~D_f=\R

f(x)=\dfrac{1}{1-xe^{-x}}=\dfrac{1}{1-\dfrac{x}{e^x}}
donc \forall ~x \in \R, ~ \\ f(x)=\dfrac{e}{e^x-x}

b) Calcul des limites

c) f'(x)=\dfrac{e^{-x}(1-x)}{(1-xe^{-x})^2}
\forall ~x \in \R, \\ e^{-x}>0~et ~(1-xe^{-x})^2 >0
Alors le signe de f'(x) dépend de celui de 1-x.
1-x>0 \Harr x<1
Par conséquent :
\forall ~x \in ]-\infty;1[,f'(x)>0
\forall ~x \in ]1;+\infty[,f'(x)
On en déduit que :
Sur ]-\infty;1[,~f est croissante
Sur ]1;+\infty[, ~f est décroissante

Tableau de variation de f

d) (T):y=f'(0)(x-0)+f(0)
(T):y=x+1

e) Tracer (T) et (C)


3.a) image de [0;1]~et~[1;+\infty[~par~f~ \\ f([0;1])=[1;\dfrac{e}{e-1}]\\ f([1;+\infty])=]1;\dfrac{e}{e-1}]

b) Déduction

On en déduit que :
\forall ~x \in [0;+\infty[,~1 \leq f(x) \leq \dfrac{e}{e-1}

Partie B

1) \displaystyle{\int_{0}^{1}}f(x)dx
Interprétation graphique
I est l’aire en unité d’aire du domaine plan délimité par la courbe (C), l’axe des abscisses et les droites d’équations x=0 et x=1

2) J_n=\displaystyle{\int_{0}^{1}} x^ne^{-nx}dx;n~entier non nul
a) J_1=\displaystyle{\int_{0}^{1}}xe^{-x}dx

Intégration par parties :

b)

Déduction

On en déduit que :
J_2 = \dfrac{1}{4}(1-\dfrac{5}{e^2})

3) U_n=1+J_1+J_2+…+J_n ; \\ ~\forall ~n \in \N^*

a) \forall ~n \in \R

(Car 1+a+a²+⋯+a^n~ est la somme des termes d’une suite géométrique de raison a et de premier terme 1)
donc \forall ~x \in \R

b) déduction

D’après la linéarité de l’intégrale,
On a :

Donc \forall~~n \in \N^*

c) D’après A 1.c, on a :

Et d’après A 3.b, on a :

d) Déduction

On en déduit que :
0 \leq I-U_n \leq \dfrac{1}{e^n(e-1)}

Convergence de la suite (U_n)

On conclut donc que la suite U_n converge vers I

4) 0 \leq I-U_2 \leq \dfrac{1}{e^2(e-1)}~

alors ~U_2 \leq I \leq U_2+\dfrac{1}{e^{+}(e-1)}