Sujet 5 – Tle S

Exercice 1

Le plan P est rapporté à un repère orthonormal direct (O,\vec{u},\vec{v}). On fera une figure qui sera complétée au fur et à mesure.
Soit f l’application qui à tout point M de P d’affixe non nulle z associe le point M’ d’affixe :
z’=\dfrac{1}{2}(z+\dfrac{1}{z}).
1) Soit E le point d’affixe z_E=-i.~Déterminer l’affixe du point E’ image de E par f.
2) Déterminer l’ensemble des points M tels que M’ = M.
3) On note A et B les points d’affixes respectives 1 et −1. Soit M un point distinct des points O, A et B.
a) Montrer que, pour tout nombre complexe z différent de 0, 1 et −1, on a :
\dfrac{z’+1}{z’-1}=(\dfrac{z+1}{z-1})^2.
b) En déduire une expression de \dfrac{M’B}{M’A} en fonction de~\dfrac{MB}{MA}~ puis une expression de l’angle (\overrightarrow{M’A},\overrightarrow{M’B})~en fonction de l’angle (\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB}).
4) Soit \Delta la médiatrice du segment [AB]. Montrer que si M est un point de \Delta~ distinct du point O, alors M’ est un point de \Delta.
5) Soit \varGamma~ le cercle de diamètre [AB].
a) Montrer que si le point M appartient à \varGamma~alors le point M’ appartient à la droite (AB).
b) Tout point de la droite (AB) a-t-il un antécédent par f ?

Exercice 2

1) Soit la fonction f définie sur \R ~par :
~f(x)=x^2 \sin (\dfrac{1}{x})~si~x \mathrlap{\,/}{=} 0~et~f(0)=0.
a) Montrer que f est continue en 0.
b) Montre que f est dérivable en 0
c) Montre que f’ n’est pas continue en 0.
2) Soit f la fonction définie sur \R~par :
~f(x)=\dfrac{x}{1+|x|}.
a) Montrer que f est bornée sur \R.
b) Etudier la parité de f.
c) Etudier la dérivabilité de f en 0.
d) Démontrer que f définie une bijection de \R Sur [−1;1].

Problème

Partie A

1) On considère la fonction g définie sur \R ~par :
g(x)=x-e^{x-1}.
a) Etudier les variations de g (on ne demande pas dans cette question de calculer les limites de g).
b) Calculer g(1) et monter que pour tout réel x, g(x) \leq 0.
c) En déduire que xe^{-x} \leq \dfrac{1}{e};~puis que~1-xe^{-x}>0.
2) On désigne par f la fonction définie par :
f(x)=\dfrac{1}{1-xe^{-x}}.
Soit (C) sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal (O,\vec{i},\vec{j})~d’unité graphique 2 cm.
a) Déterminer l’ensemble de définition de f et vérifier que pour tout réel x, \\ f(x)=\dfrac{e^x}{e^x-x}.
b) Déterminer les limites de f en -\infty ~et~+\infty.
c) Etudier les variations de f et dresser le tableau de variations.
d) Ecrire une équation de la tangente (T) à (C) au point d’abscisse 0.
e) Tracer (T), puis (C) (on admettra que (C) est au-dessus de (T) pour x < 0, et en dessous pour x > 0).
3.a) Déterminer les images par f des intervalles [0;1]~et~[1;+\infty[.
b) En déduire que pour tout x positif ou nul ;
1 \leq f(x) \leq \dfrac{e}{e-1}

Partie B

1) Donner une interprétation géométrique du nombre :
I=\displaystyle{\int_{0}^{1}}f(x)d(x).
2) Soit n un entier naturel non nul, et soit :
J_n=\displaystyle{\int_{0}^{1}}x^n e^{-nx} dx.
a) A l’aide d’une intégration par parties montrer que :
J_1=1-\dfrac{2}{e}.
b) On se propose de calculer J_2 sans utiliser des intégrations par parties ; déterminer les coefficients a, b et c tels que la fonction H définie par :
H(x)=(ax^2+bx+c)e^{-2x}~soit une primitive de ~h(x)=x^2e^{-ex}~
En déduire que :
J_2=\dfrac{1}{4}(1-\dfrac{5}{e^2}) .
3) Pour tout entier naturel non nul n, on pose :
U_n=1+J_1+J_2+…+J_n.
a) Montrer que, pour tout réel x, \\ 1+xe^{-x}+x^2e^{-2x}+…+x^ne^{-nx}=\dfrac{1-(xe^{-x})^{n+1}}{1-xe^{-x}}.
b) En déduire que :
I-U_n=\displaystyle{\int_{0}^{1}}x^{n+1}e^{-(n-1)x}f(x)dx.
c) En utilisant Partie A 1.c et 3.b montrer que pour tout réel x positif ou nul :
0\leq x^{n+1}e^{-(n+1)x}f(x) \leq \dfrac{1}{e^n(e-1)}.
d) En déduire un encadrement de I – U_n : étudier la convergence de la suite (U_n).
4) Montrer que :
U_2 \leq I \leq U_2+\dfrac{1}{e^2(e-1)}.