Corrigé Sujet Bac 6 Terminale littéraire

Exercice 1

1) Démontrons que v est une suite arithmétique et précisons la raison et le premier terme.
$\forall n \in \N;~v_{n+1}=\ln (3e^{v_n})=\ln(3)+\ln(e^{v_n})=\ln (3)+v_n~$ alors v est une suite arithmétique de raison ln(3).
2) Exprimons $L_n$ en fonction de n.

\forall n \in \N;L_n=(n+1)\dfrac{-1+n\ln (3)}{2}

Exercice 2

A)1)La probabilité d’avoir un tirage unicolore.

card (varOmega)=C_10^3=120

Soit A l’évènement «avoir un tirage unicolore»
$card (A)=C_5^3+C_3^3=10+1~donc~P(A)=\dfrac{card (A)}{card (\varOmega)}=\dfrac{11}{120}$
Soit B l’évènement «avoir exactement 2 boules de même couleur»
$Card (B)=C_3^2 \times C_7^1+C_5^2 \times C_5^1+C_2^2\times C_8^1=79~donc~P(B)=\dfrac{card (B)}{card (\varOmega)}=\dfrac{79}{120}$
B.1) Calcul de la probabilité d’avoir des boules rouges uniquement.
$card(\varOmega)=A_10^3=10\times 9\times 8=720$
Soit C l’évènement « avoir des boules rouges uniquement » ;
$card (A)=A_5^3=5\times 4\times 3=60~donc~P(C)=\dfrac{card (C)}{card (\varOmega)}=\dfrac{60}{720}=\dfrac{1}{12}$
Soit D «pas de boules vertes au deuxièmes tirage».
$D=D_1 \cup D_2~$ avec $D_1$ : « Pas de boules vertes au deuxième tirage mais la 1ère boule tirée est verte » ; et :
$D_2$ « pas de boules vertes au deuxième tirage et la 1ère boule tirée n’est verte »
(cap 150)

Probleme

1) Démontrons que la droite (D) d’équation $y=\dfrac{1}{2}$ est asymptote à (C) en $-\infty$ .
(cap 151)
$\lim\limits_{\substack{x\rightarrow -\infty}}xe^{2x}=\lim\limits_{\substack{x\rightarrow -\infty}}\dfrac{1}{2}Xe^x=0~donc~\lim\limits_{\substack{x\rightarrow -\infty}}e^{2x}=0~$ avec le changement de variable X=2x.~D’où~\lim\limits_{\substack{x\rightarrow -\infty}}(f(x)-\tfrac{1}{2})=0[/latex]
Ainsi, la droite $(D): y=\dfrac{1}{2}$ est asymptote à (C) au voisinage de $-\infty$ .
2) Limites de $f(x)~et~de~\dfrac{f(x)}{x}~lorsque~x~tend~vers~+\infty$
(cap 152)
Interprétation graphique
(C) admet en $+\infty$ une branche parabolique de direction (OJ).
3) Calcul de f'(x).
Pour tout nombre réel x. $f'(x)=e^{2x}+2(x-\tfrac{1}{2})e^{2x}=2xe^{2x}$
4) Etude des variations de f.
$\forall x \in \R, 2e^{2x}>0~alors~que~le~signe~de~f'(x)~est~est~celui de x.~$ D’où :

\forall x \in ]-\infty;0[~f'(x)0

Ainsi, f est croissante sur $[0; +\infty[ ~et~ décroissante~ sur~]-\infty;0].$
Tableau de variation de f
(cap 153)

5) Position relative de (C) et (D).
Pour tout nombre réel x,on a $f(x)-\dfrac{1}{2}=(x-\dfrac{1}{2})e^{2x}$
Pour tout nombre réel x, $e^{2x}>0 ~donc~ f(x)-\dfrac{1}{2}~a~ le~ signe~ de~ x-\dfrac{1}{2}$
Ainsi, pour tout

x \in \rceil -\infty;\dfrac{1}{2} \lceil f(x)-\dfrac{1}{2}0

Par ailleurs, $f(x)-\dfrac{1}{2}=0~pour~x=\dfrac{1}{2}~$ . Il s’ensuit :
(C) est au-dessous de (D)sur

$\rceil -\infty;\dfrac{1}{2} \lceil~et~(C)$ est au-dessus de (D)sur $\rceil \dfrac{1}{2};+\infty \lceil$